d=log_b(a) 情况的主定理解

Posted 2023-03-27

【中文标题】d=log_b(a) 情况的主定理解

【英文标题】：Master theorem solution for the case d=log_b(a)

【发布时间】：2021-09-20 22:14:35

【问题描述】：

来自Dasgupta's Algorithms：如果分治算法的运行时间用递归T(n)=aT(n/b)+O(n^d)来描述，那么它的解是：

T(n)=O(n^d) 如果d>log_b(a) T(n)=O(n^log_b(a)) 如果d<log_b(a) T(n)=O(n^d*log_2(n)) 如果d=log_b(a)

每个子问题的大小在下一次递归调用中减小b，a 是分支因子，O((n/b^k)^d) 是每个子问题在k 级别上划分和组合子问题的时间。

案例 1 和 2 很简单——它们取自在对递归树的每一级所做的工作求和时形成的几何级数，即 a^k*O((n\b^k)^d)=O(n^d)*(a/b^d)^k。

在案例 3 中，log_2(n) 来自哪里？当d=log_b(a)时，比值a/b^d等于1，因此系列之和是n^d*log_b(a)，而不是n^d*log_2(n)

【参考方案1】：

作为一个更简单的例子，首先注意 O(log n)、O(log₁₃₇ n) 和 O(log₁₆ n) 的含义相同。其原因是，通过对数基公式的变化，对于任何固定常数 m，我们有

log_m n = log n / log m = (1 / log m) · log n = O(log n)。

主定理假设 a、b 和 d 是常数。从对数基公式的变化，我们得到了

从这个意义上说，O(n^d log_b n) = O(n^d log n)，因为 b 是一个常数在这里。

作为注释，看到写成 O(n^d log₂ n) 的东西是不寻常的，因为这里的日志库无关紧要，只是有贡献到（已经隐藏的）常数因子。