在球冠上找到均匀分布的随机点

Posted 2023-03-23

【中文标题】在球冠上找到均匀分布的随机点

【英文标题】：Find evenly distributed random points on a spherical cap

【发布时间】：2019-06-13 10:33:58

【问题描述】：

我的纬度、经度和半径为 400m-1000m，形成spherical cap。我需要在那个上限上找到一个随机点。这些点必须均匀分布在该区域上。

有一个关于查找random points in a circle 的相关问题。我的第一个想法是将帽子投影到笛卡尔平面上并使用圆算法。半径足够小，不会出现严重的错误。

我不确定投影然后将点转换回 lat/lng 是否是最简单的解决方案，或者对于这个问题还有什么其他可能的解决方案

【参考方案1】：

您可以使用 sqrt-distribution 生成 0..360 范围内的随机方位角和随机距离以提供 unifrom 分布

d = maxR * Sqrt(random(0..1))
theta = random(0..1) * 2 * Pi

然后按照here (Destination point given distance and bearing from start point) 的描述使用方位角和距离获取地理点坐标

φ2 = asin( sin φ1 ⋅ cos δ + cos φ1 ⋅ sin δ ⋅ cos θ )
λ2 = λ1 + atan2( sin θ ⋅ sin δ ⋅ cos φ1, cos δ − sin φ1 ⋅ sin φ2 )

where   φ is latitude, λ is longitude, θ is the bearing
(clockwise from north), δ is the angular distance d/R; 
d being the distance travelled, R the earth’s radius

【讨论】：

这看起来不错。我只是想了解这一切。所以平方根中的随机更有可能选择更高的值来弥补空间更​​大的事实？

是的。环形面积与平方半径成正比，所以为了提供均匀的填充，我们使用反函数Mathworld page

得到这个工作，它运作良好。唯一让我印象深刻的是第二部分接受 lat,lng 的弧度。

【参考方案2】：

如 wiki 页面 theta + phi = 90 中所述，如果 phi 是纬度。另一方面，由于r 对于帽上的所有点都是固定的，我们只需要设置theta 的值。因此，您可以从0 到theta 值（与上限相关）中选择一个随机值，并通过解释的约束来定义该点。

【参考方案3】：

对于与球体半径相比非常小的圆盘，经纬度投影将简单地近似为椭圆，除非您非常靠近极点。

首先计算给定纬度的拉伸：

double k = cos(latitude * PI / 180);

然后以纬度计算圆盘半径

// A latitude arc-second is 30.87 meters
double R = radius / 30.87 / 3600 * PI / 180;

然后在圆中计算一个均匀的随机点

double a = random() * 2 * PI;
double r = R * sqrt(random());

您在光盘中的随机点将是

double random_lat = (latitude*PI/180 + r*cos(a))/PI*180;
double random_longitude = (longitude*PI/180 + (r/k)*sin(a))/PI*180;