来自“Bit Twiddling Hacks”的 SWAR 字节计数方法——它们为啥有效？

Posted 2023-02-16

【中文标题】来自“Bit Twiddling Hacks”的 SWAR 字节计数方法——它们为啥有效？

【英文标题】：SWAR byte counting methods from 'Bit Twiddling Hacks' - why do they work?来自“Bit Twiddling Hacks”的 SWAR 字节计数方法——它们为什么有效？

【发布时间】：2021-07-08 03:37:09

【问题描述】：

Bit Twiddling Hacks 包含以下宏，用于计算字 x 中小于或大于 n 的字节数：

#define countless(x,n) \
(((~0UL/255*(127+(n))-((x)&~0UL/255*127))&~(x)&~0UL/255*128)/128%255)

#define countmore(x,n) \
(((((x)&~0UL/255*127)+~0UL/255*(127-(n))|(x))&~0UL/255*128)/128%255)

但是，它并没有解释为什么它们起作用。这些宏背后的逻辑是什么？

【问题讨论】：

您是否尝试使用空格和换行符分隔表达式？试一试，看看模式。

【参考方案1】：

让我们尝试一下countmore 的直觉。

首先，~0UL/255*(127-n) 是一种巧妙的方法，可以将值127-n 并行复制到字中的所有字节。为什么它有效？ ~0 在所有字节中为 255。因此，~0/255 在所有字节中都是1。乘以(127-n) 就是开头提到的“复制”。

术语~0UL/255*127 只是上述n 为零的特例。它将 127 复制到所有字节中。如果单词是 4 个字节，那就是 0x7f7f7f7f。与x 的“Anding”将每个字节中的高位清零。

这是第一个词(x)&~0UL/255*127)。结果与x 相同，只是每个字节中的高位为零。

第二项~0UL/255*(127-(n))如上：127-n复制到每个字节。

对于任何给定的字节x[i]，如果x[i]<=127，将这两个项相加得到127-n+x[i]。每当x[i]>n 时，此数量都会设置高位。最容易将其视为添加两个 7 位无符号数。结果“溢出”到第 8 位，因为结果为 128 或更多。

所以看起来该算法将使用每个字节的第 8 位作为指示 x[i]>n 的布尔值。

那么其他情况呢，x[i]>127？这里我们知道字节大于n，因为算法规定n<=127。第 8 位应该始终为 1。令人高兴的是，和的第 8 位无关紧要，因为下一步“或”是x 的结果。由于x[i] 将第 8 位设置为 1 当且仅当它为 128 或更大时，此操作仅在总和可能提供错误值时“强制”第 8 位为 1。

总结到目前为止，当且仅当x[i]>n 时，“或”结果的第 i 个字节中的第 8 位设置为 1。不错。

下一个操作&~0UL/255*128 将所有内容设置为零，除了所有感兴趣的第 8 位。这是与 0x80808080 的“与”...

现在的任务是找出这些被设置为 1 的位数。为此，countmore 使用了一些基本的数论。首先它右移 7 位，所以感兴趣的位是 b0、b8、b16... 这个字的值是

b0 + b8*2^8 + b16*2^16 + ...  

一个美丽的事实是 1 == 2^8 == 2^16 == ... mod 255。换句话说，每个 1 位是 1 mod 255。因此找到移位结果的 mod 255 是等同于求和 b0+b8+b16+...

哎呀。我们完成了。

【参考方案2】：

让我们分析countless宏。我们可以将这个宏简化为如下代码：

#define A(n) (0x0101010101010101UL * (0x7F+n))
#define B(x) (x & 0x7F7F7F7F7F7F7F7FUL)
#define C(x,n)     (A(n) - B(x))
#define countless(x,n)  ((  C(x,n)  &  ~x  & 0x8080808080808080UL) / 0x80 % 0xFF )

A(n) 将是：

A(0) = 0x7F7F7F7F7F7F7F7F
A(1) = 0x8080808080808080
A(2) = 0x8181818181818181
A(3) = 0x8282828282828282
....

对于B(x)，x 的每个字节都将使用0x7F 进行掩码。 如果我们假设x = 0xb0b1b2b3b4b5b6b7 和n = 0，那么C(x,n) 将等于0x(0x7F-b0)(0x7F-b1)(0x7F-b2)...

例如，我们假设x = 0x1234567811335577 和n = 0x50。所以：

A(0x50) = 0xCFCFCFCFCFCFCFCF
B(0x1234567811335577) = 0x1234567811335577
C(0x1234567811335577, 0x50) = 0xBD9B7957BE9C7A58
~(0x1234567811335577) = 0xEDCBA987EECCAA88
0xEDCBA987EECCAA88  & 0x8080808080808080UL = 0x8080808080808080
C(0x1234567811335577, 0x50) & 0x8080808080808080 = 0x8080000080800000
(0x8080000080800000 / 0x80) % 0xFF =  4 //Count bytes that equal to 0x80 value.