使用闭包属性证明正则性

Posted 2023-03-16

【中文标题】使用闭包属性证明正则性

【英文标题】：Using Closure Properties to prove Regularity

【发布时间】：2011-07-05 08:48:58

【问题描述】：

这是一道作业题：

Is L_4 Regular?
Let L_4 = L*, where L=0^i1^i | i>=1.

我知道 L 是非常规的，并且我知道 Kleene Star 是一个封闭操作，所以我的假设是 L_4 是非常规的。

但是，我的教授提供了一个上述例子，其中L = 0^p | p is prime，他说这是常规的，通过证明L* 等于L(000* + e)，通过说每个都是彼此的子集（在这种情况下，e 表示空词）。

所以他的方法涉及形成一个0^p 的正则表达式，但是当我基本上已经有了一个正则表达式时，我该怎么做呢？

【问题讨论】：

0^p : p prime 不规则。它实际上是上下文相关的。

另外，仅仅因为 L 不规则就假设 L_4 不规则是不正确的——闭包属性不能那样工作！例如，如果我们让 P 是素数 p 的 0^p 语言，那么即使 P 不是，P* 也是正则的。

哦，谢谢第一部分。我们刚刚开始使用上下文无关语言以及其他语言。是的，这是一个糟糕的假设……但我已经习惯于认为“封闭”-> 相同类型，即使是规律性也是如此。

【参考方案1】：

常规语言在 Kleene 星号下关闭。也就是说，如果语言 R 是正则的，那么 R* 也是正则的。

但是推理在另一个方向上不起作用：有一些非常规语言 P，其中 P* 实际上是正则的。

您在问题中提到了一个这样的 P：字符串 0^p 的集合，其中 p 是素数。

很容易将pumping lemmas 用于常规和上下文无关语言，以表明 P 至少是上下文相关的。 但是，P* 等价于语言 0^q，其中 q 是零个或多个素数之和。 但这对于 q=0（空字符串）和任何 q>=2 都是正确的，因此 P* 可以用三态 DFA 来识别，即使 P 本身不是正则的。

因此，L 与上下文无关与您的 L_4 = L* 是否是常规的无关。如果您可以构造一个识别 L_4 的 DFA，就像我在上面对 P* 所做的那样，那么显然它是常规的。 在尝试寻找有效的 DFA 的过程中，您可能会看到一些模式 出现，可以用作抽水论证的基础。 Myhill-Nerode theorem 是另一种证明语言非常规的方法，如果该语言适合分析前缀和区分扩展名，则该方法很有用。如果该语言可以在某种关系下分解为一组有限的等价类，那么它就可以用包含这么多状态的 DFA 来识别。

编辑：对于任何想知道 OP 的示例 L_4 是否是正则的人......它不是，这可以使用正则语言的泵引理来证明。

假设 L_4 是规则的，具有“泵送长度”P。考虑字符串 w=0^P1^P，它是 L_4 的一个元素。我们需要将其分解为 w=xyz 的形式， 与 |y| >= 1 和 |xy| nz 与 n != 1 将具有不匹配的 0 和 1 计数，因此不能是 L_4 的元素。所以抽水引理不成立，L_4 不可能是正则的。

【讨论】：

我发现我们可以用任何方法来证明正则性。谢谢！

@WAT：如果你提出了一个很好的证据，请回来报告......不要让我们悬而未决！

看起来他让你挂了:(

@g14nfr4nc0 ：也许吧，但我不会！ :)