使用迭代方法解决递归

Posted 2023-03-16

【中文标题】使用迭代方法解决递归

【英文标题】：Solving recurrence using the iteration method

【发布时间】：2021-12-11 13:33:50

【问题描述】：

我需要帮助解决 T(n) = T(n/4) + T(n/3) + 2n 使用迭代方法（递归树。我想它会是 Θ(2n) 或 Θ(n )?

【问题讨论】：

请编辑问题以将其限制为具有足够详细信息的特定问题，以确定适当的答案。

【参考方案1】：

这很简单。我们有以下两个不等式：

T(n) > 2T(n/4) + 2n

and

T(n) < 2T(n/3) + 2n

现在，尝试通过展开找到上限和下限。根据这两种情况，你会发现T(n) = Theta(n)。

例如，对于T'(n) = 2T(n/3) + 2n，我们有以下扩展：

T'(n) = 2T(n/3) + 2n = 2^2 T(n/3^2) + (1 + 2/3) * 2n

通过归纳我们可以证明：

T'(n) = 2^log_3(n) T(0) + (1 + 2/3 + 2^2/3^2 + ...) * 2n  
      < n + 6 * n = 7n

因为2^log_3(n) < 2^log_2(n) = n 和(1 + 2/3 + 2^2/3^2 + ...) 是因子2/3 的几何和。因此，当n 变为无穷大时，总和将为1/(1-2/3) = 3。

您可以对T(n) 的下限进行相同的分析。

因此，作为c1 * n <= T(n) <= c_2 * n，我们可以得出结论T(n)在Theta(n)中。

【讨论】：

如何使用迭代法解决？

@algor 这里，我们用迭代法解决了。