如何解决方程上的递归树问题

Posted 2023-03-16

【中文标题】如何解决方程上的递归树问题

【英文标题】：how do I solve Recursion tree problem on the equation

【发布时间】：2022-01-10 20:56:29

【问题描述】：

如何为 T(n) = 4T(n-1) + 2 绘制递归树。其中 n>1 且 T(1) = 2。通常最后有 n，但在这种情况下有没有。

【参考方案1】：

给定的递归关系有一个常数项，这导致了一个非常简单的递归树：

      _______________2______________
     /          /        \          \
  __2__      __2__      __2__      __2__    
 / | | \    / | | \    / | | \    / | | \
2  2 2  2  2  2 2  2  2  2 2  2  2  2 2  2
...        ...        ...        ...

树的层数由递归项决定：?_?分解为?_?−1，分解为?_{?−2, ... 直到 ?1，所以树有 ? 层。}

首先分别对每个级别求和。

如果我们从上到下对层进行编号，顶层编号为 0，底层编号为 ?−1，则层 ? 有 4 个^? 节点。

因此所有节点的数量为∑_?=0..?−14^?。这代表了geometric series 的第一项，因此我们在整个树中计算 (4^?-1)/3 个节点。

由于每个节点的值为2，所以总值为2(4^?−1)/3