算法：有没有解决比较的好方法？

Posted 2023-03-15

【中文标题】算法：有没有解决比较的好方法？

【英文标题】：Algorithm: Is there a good way of solving a comparison?

【发布时间】：2011-01-18 15:43:45

【问题描述】：

我有一组数字要比较。假设我必须从用户那里得到这个比较。我可以选择问他一个包含 2 个数字或 3 个数字的 4 个数字的问题。例如，我可以提出以下任何问题：

哪个数字更大？ 2 或 4 哪个数字更大？ 2 或 3 或 4 哪个数字更大？ 2 或 3 或 4 或 5

我的目标是尽量减少我以某种组合向用户提出的问题的数量，这最终会给我一个集合中所有数字的排序...例如，如果只有 4 个数字 2,3, 4,5，我可以问他第三类问题，我给他 4 个数字进行比较。但是在我设计的生态系统中，用户对冗长的问题感到恼火，所以我想尽量减少我会问的这类问题的数量。因此，如果每个问题都有特定的权重，我会试图找出一种方法来最终获得所有数字的排序，同时给用户带来最小的麻烦。

有没有解决这个问题的好方法？有没有人认为这属于一般问题，或者我只是让它太复杂了？有什么建议吗？

【问题讨论】：

这是作业题吗？如果是，您应该向我们展示您到目前为止所做的事情以及您遇到的问题。

Naa... 这是我正在为我的网站设计的东西。几个小时前在这里发布了一个有关游戏设计的相关问题。我可以指出：***.com/questions/2278896/… 我主要是在寻找某种游戏，我可以用它来建立声誉系统和游戏系统，并正在探索一些奇怪的想法。对不起，如果我把它当作一个家庭作业问题......

另外我在想这是否与集团问题有关，但我想被证明是错误的......有些人建议排序，但我只是看看是否有其他方法还有……

您是否只对长度为 4 的列表进行排序？你可以问3个数字的中位数吗？在我看来，这将比 3 个数字中最大的一个更有用。

@Justin：我只是用数字作为例子。如果我找到一个好的算法来做这件事，我最终可能会将其扩展到其他各种情况。

【参考方案1】：

让我们做实验，好吗？

1.示例

让我们看看A,B,C,D并对其进行排序。

解决方案 1：按组

A,B,C,D 中的较大者 -> B（因此为 B>A、B>C 和 B>D） A,C,D 中的较大者 -> D（因此是 D>A 和 D>C） A,C 中的较大者 -> A（因此为 A>C）

总订单[B,D,A,C]

解决方案 2：成对

A 和 C 之间更大 -> A（因此为A>C） B 和 D 之间更大 -> B（因此 B>D） D 和 A 之间的较大值 -> D

总订单[B,D,A,C]

有什么收获？显然成对比较困难，这里我选择了它们以便合并容易（无）。

2。备注

a) 总排序

> 仅适用于总排序：即对于集合中的两个给定元素 A 和 B，A>B 或 B>A。如果这两个关系都不成立，那么A 和B 是等价的。

解决方案 1 方法的问题在于，如果您向用户展示 A,B,C,D 和 A 和 B 等价且大于 C 和 D.. . 答案应该是什么？

b) 传递性

> 关系是可传递的，这意味着如果A>B 和B>C 然后A>C。使用这一事实很重要，因为您可以推断两个元素之间的关系，而无需询问用户。

c) 目标是什么？

目标是应该尽量减少向用户提出的问题，还是应该尽量减少用户的工作？因为显然用户更难回答第一个解决方案中的问题......

3.建模

可以将问题建模为“图”问题。

您从一组节点 A,B,C,D 开始，它们代表您要测试的值。

对集合进行排序相当于计算连接这些节点的最小定向边集，以便给定任意两个节点，一条路径从一个节点通向另一个节点。我确实坚持最低限度。

例如，如果我有 2 条边：B>A 和 B>C，那么如果我发现不是 A>C，我将删除 B>C，因为我可以通过传递性推断它。重要的属性是，如果没有两个节点是等价的，则生成的边集的基数是节点集的基数减去 1。在我的示例中（给定 4 个节点），它将是 3。

一个预言机（或一个非常幸运的人）因此只能提出 3 个问题，但要构建这个图表......这就是我们应该努力的目标。

4.如何解决这个问题？

好的，假设我们没有 2 个等效元素。这意味着如果A>B 为假，那么我可以推断出B>A...

为了表示我们的小图，我们用一个数组：

  A B C D  
D . > .      # . represent the unknown
C . >        
B >          # < and > have their usual meaning...
A 

由于对称性，我们只需要一个三角形。

通过计算. 的数量，我们可以看到未知关系的数量，理想的解决方案是摆脱所有.，同时向用户提出尽可能少的问题。

因此，一个好的问题是一次性删除尽可能多的.。

5.我的问题

因此，我有另一种类型的问题：

Select the elements lower than "D" in the following A,B,C: _

这个问题比 What is the great... 感觉更好，因为我明确地针对那些我想知道的关系（D?A、D?B 和 D?C）而 greater 保证我将获得尽可能多的关系，但我无法提前知道哪个。

我试图最大化问题的有用性

当然，懒惰是没有余地的：在利用问题的结果时考虑传递性仍然很重要。

6.探索更大的集合

对于较大的集合，您可以对元素进行分组，然后稍后将它们合并，但合并总是一个混乱的操作：您可能会得到您已经知道的答案。但是，对于我的小问题，这是一个很好的做法：

给定 2 个有序（不相交）集合：[A,B,C,D,...] 和 [R,S,T,U,...]，让我们看看工具箱的 3 个问题：

哪个更大：A 或 R？ _ A,B,R,S 的最大元素是什么？ _

R,S,T 中哪些元素大于A？ _

提供 1 个关系

提供 2 种关系：其中 3 种是已知的 提供 3 个关系

第三个问题要求更详细的答案，但它更适合合并情况。在合并的情况下，它与要求对元素进行排序一样有效，因为它精确地要求我们在董事会中不知道的仅有的 3 个关系。

7.结论

现在您的框中有 4 个问题：

排序：将下列元素从大到小排序 A,B,C,D ? _ Pivot：在这个集合 B,C,D 中哪些元素大于 A？ _ 更大：在这个集合 A,B,C,D 中哪个元素更大？ _ Pair：A 和 B 中哪个元素更大？ _

(Pair可以看作是Greater或Pivot的退化情况)

鉴于每个问题都为n 节点提供n-1 关系，您可以尝试衡量用户回答问题T(n) 所需的时间，然后找到最大化T(n)/n 的n ;)

【讨论】：

当问题很有趣时... :)

【参考方案2】：

如果您对数组进行排序，那么您通常在 O(n log(n)) 时间内进行排序。这意味着您有时会多次比较成对的数字。如果您不断提出 4 个问题，那么您将获得可以存储的额外信息。

当你在排序中找到一个点时，你问 a>b，那么你不妨问是 b,c,d,e,... 中最大的一个。这样您就不必询问 a>c、a>d 等。如果您将这些已知的比较存储在一个表中，那么您就不必再做这些了。至于确切地选择 caparison 设置来询问用户的问题，我不确定，这当然是一个很好的问题。

对于向用户提出问题的问题，我的直觉是查看快速排序的工作原理。它将数据分成两部分，并且永远不会比较不在同一组中的数字，这样您就知道不应该将什么放入集合中询问用户。尽可能长地使用 4 个数字，直到快速排序进入少于 4 个数字的组。

【讨论】：

一个很好的解释......谢谢你......在你第二段的相关说明中，我唯一的想法是，如果你在算法中达到了你'已经使用了许多大小为 4 的问题来构建不同的集合，并且正处于您现在需要合并它们的阶段，如何选择大小？知道这会很有趣，因为并非所有问题都具有相同的权重...正如您所建议的，我将更详细地进行快速排序..但是如果您有更多的 cmets，我将不胜感激...跨度>

@Legend：对不起，我不明白你的评论，但这里已经很晚了。如果你澄清我明天可以检查。即：什么是“您已经使用了许多大小为 4 的问题来构建不同的集合，并且正处于您现在需要合并它们的阶段，如何选择大小？”什么大小？我的意思是正常执行该算法，但始终检查和更新表格并使用智能问题集。我只以快速排序为例，

哦，我明白了……明白了……你明天有时间就可以回答这个问题……只是一个小小的想法是复杂性是 O(nlog n)。如果 n 很大，那么我相信我最终会惹恼用户。我可能已经准备好为了加快速度而牺牲一些准确性......我目前正在谷歌搜索，但我想知道是否有任何概率方法可以在小于 O(nlog n) 的时间内做到这一点

【参考方案3】：

你可以做一个合并排序或快速排序算法，其中比较函数询问用户问题的两个数字版本，然后他们必须回答的最多问题是 n log n。

那么问题就是，能够提出 3 或 4 中最大的问题是否会减少您必须提出的问题的数量。我的直觉说不，但我很难证明这一点。

【参考方案4】：

您可以通过quicksort或mergesort的算法提出问题。尽量减少比较次数，保证结果正确。

【讨论】：

-1：但是当您尝试利用您可以一次询问用户 4 个比较的事实时，您会选择哪些元素？

不要一次进行 4 次比较。通过进行这样的比较（例如 2,3,4,5），您只知道 5 大于 2、3 和 4，但没有获得排序信息。每个问题只比较两个。编辑：只需阅读您的答案。好主意。

通过询问谁是最伟大的 1,2,3,4,5 你知道 5>4, 5>3, 5>2, 5>1....这不仅仅是信息一。