计算单元化三次贝塞尔曲线的多项式系数

Posted 2023-03-13

【中文标题】计算单元化三次贝塞尔曲线的多项式系数

【英文标题】：Calculating polynomial coefficients for unitized cubic bezier curve

【发布时间】：2014-11-18 18:27:08

【问题描述】：

我正在分析 Apple 的这段代码：

http://opensource.apple.com/source/WebCore/WebCore-955.66/platform/graphics/UnitBezier.h

我特别不明白的部分是这一段，他们计算曲线的多项式系数（他们假设 P0 和 P1 分别是 (0,0) 和 (1,1)）：

UnitBezier(double p1x, double p1y, double p2x, double p2y)
        
            // Calculate the polynomial coefficients, implicit first and last control points are (0,0) and (1,1).
            cx = 3.0 * p1x;
            bx = 3.0 * (p2x - p1x) - cx;
            ax = 1.0 - cx -bx;

            cy = 3.0 * p1y;
            by = 3.0 * (p2y - p1y) - cy;
            ay = 1.0 - cy - by;
        

我假设他们正在使用三次贝塞尔函数：

有人可以通过他们用来简化这个方程来获得这些系数的步骤吗？我假设由于 P0 是 (0,0) 可以删除第一部分，并且由于 P3 是 (1,1) 最后一部分变为 t^3，所以留下：

3 * (1-t)^2 * t * P1 + 3 * (1-t) * t^2 * P2 + t^3

他们是如何简化计算多项式系数 ax、bx 和 cx 的？还是我离基地太远了？

【参考方案1】：

经过一番折腾，我弄清楚了发生了什么。

乘以上面的多项式将简化为：

3(p1x)t -6(p1x)t^2 +3(p1x)t^3 +3(p2x)t^2 -3(p2x)t^3 +t^3

我们可以根据 't' 的幂来分组：

(3(p1x) - 3(p2x) + 1) * t^3
+
(3(p2x) - 6(p1x)) * t^2
+
(3(p1x)) * t

所以基本上，

cx = 3*p1x (this one is easy)

bx = (3(p2x) - 6(p1x))
   = (3(p2x) - 3(p1x) - 3(p1x)
   = 3(p2x - p1x) - cx

ax = 3(p1x) - 3(p2x) + 1
   = 1 - 3(p1x) - 3(p2x) + 6(p1x)
   = 1 - 3(p1x) - 3(p2x) + 3(p1x) + 3(p1x)
   = 1 - 3(p1x) - (3(p2x) - 3(p1x) - 3(p1x))
   = 1 - 3(p1x) - (3(p2x - p1x) - 3(p1x))
   = 1 - cx - (3(p2x - p1x) - cx)
   = 1 - cx - bx

【讨论】：

你是正确的。扩展到幂基础，然后解析。