SVM - 如何对核化的 gram 矩阵进行矢量化？

Posted 2023-03-12

【中文标题】SVM - 如何对核化的 gram 矩阵进行矢量化？

【英文标题】：SVM - How can I vectorize a kernalized gram matrix?

【发布时间】：2018-06-05 07:43:37

【问题描述】：

我使用 cvxopt qp 求解器在 python 中实现了一个支持向量机，我需要计算两个向量的 gram 矩阵，每个元素都有一个核函数。我使用 for 循环正确实现了它，但这种策略计算量很大。我想对代码进行矢量化处理。

例子：

这是我写的：

K = np.array( [kernel(X[i], X[j],poly=poly_kernel) 
     for j in range(m)
     for i in range(m)]).reshape((m, m))

如何在没有 for 循环的情况下对上述代码进行矢量化以更快地获得相同的结果？

核函数计算一个高斯核。

Here is a quick explanation of an svm with kernel trick.第二页说明了问题。

这是我完整的code 上下文。

编辑：这是一个快速代码 sn-p，它运行我需要以非矢量化形式矢量化的内容

from sklearn.datasets import make_gaussian_quantiles;
import numpy as np;


X,y = make_gaussian_quantiles(mean=None, cov=1.0, n_samples=100, n_features=2, n_classes=2, shuffle=True, random_state=5);

m = X.shape[0];


def kernel(a,b,d=20,poly=True,sigma=0.5):
    if (poly):
        return np.inner(a,b) ** d;
    else:
        return np.exp(-np.linalg.norm((a - b) ** 2)/sigma**2)

# Need to vectorize these loops

K = np.array([kernel(X[i], X[j],poly=False) 
    for j in range(m)
    for i in range(m)]).reshape((m, m))

谢谢！

【问题讨论】：

请通过包含相关位（在本例中为内核函数）和一些模拟数据来帮助那些试图帮助您的人，以便他们可以直接运行您的示例。

更新问题谢谢

【参考方案1】：

这是一个矢量化版本。非多边形分支有两种变体，一种是直接的，另一种是节省内存的，以防特征数量很大：

from sklearn.datasets import make_gaussian_quantiles;
import numpy as np;


X,y = make_gaussian_quantiles(mean=None, cov=1.0, n_samples=100, n_features=2, n_classes=2, shuffle=True, random_state=5);
Y,_ = make_gaussian_quantiles(mean=None, cov=1.0, n_samples=200, n_features=2, n_classes=2, shuffle=True, random_state=2);

m = X.shape[0];
n = Y.shape[0]

def kernel(a,b,d=20,poly=True,sigma=0.5):
    if (poly):
        return np.inner(a,b) ** d;
    else:
        return np.exp(-np.linalg.norm((a - b) ** 2)/sigma**2)

# Need to vectorize these loops

POLY = False
LOW_MEM = 0

K = np.array([kernel(X[i], Y[j], poly=POLY) 
              for i in range(m)
              for j in range(n)]).reshape((m, n))

def kernel_v(X, Y=None, d=20, poly=True, sigma=0.5):
    Z = X if Y is None else Y
    if poly:
        return np.einsum('ik,jk', X, Z)**d
    elif X.shape[1] < LOW_MEM:
        return np.exp(-np.sqrt(((X[:, None, :] - Z[None, :, :])**4).sum(axis=-1)) / sigma**2)
    elif Y is None or Y is X:
        X2 = X*X
        H = np.einsum('ij,ij->i', X2, X2) + np.einsum('ik,jk', X2, 3*X2) - np.einsum('ik,jk', X2*X, 4*X)
        return np.exp(-np.sqrt(np.maximum(0, H+H.T)) / sigma**2)
    else:
        X2, Y2 = X*X, Y*Y
        E = np.einsum('ik,jk', X2, 6*Y2) - np.einsum('ik,jk', X2*X, 4*Y) - np.einsum('ik,jk', X, 4*Y2*Y)
        E += np.add.outer(np.einsum('ij,ij->i', X2, X2), np.einsum('ij,ij->i', Y2, Y2))
        return np.exp(-np.sqrt(np.maximum(0, E)) / sigma**2)

print(np.allclose(K, kernel_v(X, Y, poly=POLY)))

【讨论】：

谢谢！你能解释一下 einsums 在做什么吗？

einsum('ik,jk', X, X) 将X 的元素与X 的元素相乘，输出将具有与第一个X 中的第一个类似的轴，因为规范字符串中的i 是唯一的并且是轴就像第二个“X”中的第一个，因为“j”是唯一的。所以关于这两个轴，它的行为就像一个外部产品。这两个因素的第二个轴没有展开，并且单个产品沿该轴求和，因为“k”出现在两个规格中。那是爱因斯坦约定，因此是“einsum”，因此对于第二个轴，它的行为类似于内积。 out_ij = sum_k X_ik X_jk

如果在这种情况下还存在np.einsum('ij,ij->i', X2, X2) 中的输出规范，这意味着i 没有被求和，也没有被外部扩展，所以out_i = sum_j X2_ij X2_ij 我希望你能弄清楚其他人自己。

感谢您的解释。为什么要乘以 3*X2 和 4*X？

只是一些诡计(a-b)^4=a^4 - 4a^3 b + 6 a^2 b^2 - 4 a b^3 + b^4。因为我们这样做“外部”并且 a 和 b 的向量都是 X 我们可以计算前半部分，然后后半部分将只是转置。由于术语的数量是奇数，我们需要将中间的一分为二，因此3。