使用 k-means 聚类时如何确定 k？

Posted 2023-03-12

【中文标题】使用 k-means 聚类时如何确定 k？

【英文标题】：How do I determine k when using k-means clustering?

【发布时间】：2010-12-20 02:17:01

【问题描述】：

我一直在研究k-means clustering，不清楚的一件事是你如何选择k的值。这只是一个反复试验的问题，还是有更多的问题？

【问题讨论】：

啊啊...这真的是 the 问题（关于 k-mean）。

你能分享函数 L（对数似然）的代码吗？给定 X,Y 的中心和 (x(i=1,2,3,4,...,n),y(i=1,2,3,4,..,n)) 的点，如何我会得到 L 吗？

关于该主题的***文章链接：en.wikipedia.org/wiki/…

我在这里用六种方法（使用R）回答了一个类似的问题：***.com/a/15376462/1036500

【参考方案1】：

基本上，您希望在两个变量之间找到平衡点：聚类数 (k) 和聚类的平均方差。你想最小化前者，同时也最小化后者。当然，随着聚类数量的增加，平均方差会减小（直到 k=n 和方差=0 的平凡情况。

与数据分析一样，没有一种方法在所有情况下都比其他方法效果更好。最后，您必须使用自己的最佳判断。为此，它有助于根据平均方差（假设您已经针对 k 的多个值运行算法）绘制聚类数。然后您可以使用曲线拐点处的簇数。

【参考方案2】：

您可以最大化贝叶斯信息准则 (BIC)：

BIC(C | X) = L(X | C) - (p / 2) * log n

其中L(X | C) 是数据集X 根据模型C 的对数似然，p 是模型C 中的参数数量，n 是模型中的点数数据集。 请参阅 ICML 2000 中 Dan Pelleg 和 Andrew Moore 的 "X-means: extending K-means with efficient estimation of the number of clusters"。

另一种方法是从k 的较大值开始，并继续删除质心（减少 k），直到不再减少描述长度。请参阅 Horst Bischof、Ales Leonardis 和 Alexander Selb 在模式分析和应用卷中的"MDL principle for robust vector quantisation"。 2，第1999 年 59 至 72 日。

最后，您可以从一个集群开始，然后继续拆分集群，直到分配给每个集群的点具有高斯分布。在"Learning the k in k-means" (NIPS 2003) 中，Greg Hamerly 和 Charles Elkan 展示了一些证据，证明这比 BIC 更有效，并且 BIC 对模型复杂性的惩罚不够强烈。

【讨论】：

很好的答案！对于 X-Means，您是否知道整体 BIC 得分 n := k*2（k 个集群，每个集群由高斯建模，具有均值/方差参数）。此外，如果您确定“父”BIC >“2 个子”BIC，您是否会在下一次迭代中再次拆分该集群？

@Budric，这些应该是单独的问题，可能在 stats.stackexchange.com 上。

【参考方案3】：

首先为您的数据构建一个minimum spanning tree。 移除 K-1 个最昂贵的边会将树分成 K 个簇， 因此您可以构建一次 MST，查看各种 K 的簇间距/指标， 并取曲线的膝盖。

这仅适用于Single-linkage_clustering， 但为此它又快又容易。此外，MST 可以提供出色的视觉效果。 例如，参见下面的 MST 图 stats.stackexchange visualization software for clustering.

【参考方案4】：

查看 this 论文，“Learning the k in k-means”，作者是 Greg Hamerly，Charles Elkan。它使用高斯检验来确定正确的集群数量。此外，作者声称此方法优于已接受答案中提到的 BIC。

【参考方案5】：

是的，您可以使用 Elbow 方法找到最佳聚类数，但我发现使用脚本从肘形图中找到聚类值很麻烦。您可以观察肘部图并自己找到肘部点，但是从脚本中找到它需要做很多工作。

所以另一种选择是使用Silhouette Method 来查找它。 Silhouette 的结果完全符合 R 中 Elbow 方法的结果。

这就是我所做的。

#Dataset for Clustering
n = 150
g = 6 
set.seed(g)
d <- data.frame(x = unlist(lapply(1:g, function(i) rnorm(n/g, runif(1)*i^2))), 
                y = unlist(lapply(1:g, function(i) rnorm(n/g, runif(1)*i^2))))
mydata<-d
#Plot 3X2 plots
attach(mtcars)
par(mfrow=c(3,2))

#Plot the original dataset
plot(mydata$x,mydata$y,main="Original Dataset")

#Scree plot to deterine the number of clusters
wss <- (nrow(mydata)-1)*sum(apply(mydata,2,var))
  for (i in 2:15) 
    wss[i] <- sum(kmeans(mydata,centers=i)$withinss)
   
plot(1:15, wss, type="b", xlab="Number of Clusters",ylab="Within groups sum of squares")

# Ward Hierarchical Clustering
d <- dist(mydata, method = "euclidean") # distance matrix
fit <- hclust(d, method="ward") 
plot(fit) # display dendogram
groups <- cutree(fit, k=5) # cut tree into 5 clusters
# draw dendogram with red borders around the 5 clusters 
rect.hclust(fit, k=5, border="red")

#Silhouette analysis for determining the number of clusters
library(fpc)
asw <- numeric(20)
for (k in 2:20)
  asw[[k]] <- pam(mydata, k) $ silinfo $ avg.width
k.best <- which.max(asw)

cat("silhouette-optimal number of clusters:", k.best, "\n")
plot(pam(d, k.best))

# K-Means Cluster Analysis
fit <- kmeans(mydata,k.best)
mydata 
# get cluster means 
aggregate(mydata,by=list(fit$cluster),FUN=mean)
# append cluster assignment
mydata <- data.frame(mydata, clusterid=fit$cluster)
plot(mydata$x,mydata$y, col = fit$cluster, main="K-means Clustering results")

希望对你有帮助！

【讨论】：

只是为python用户添加了剪影分析教程的链接scikit-learn.org/stable/auto_examples/cluster/…

另外，绘图见黄砖scikit-yb.org/en/latest/api/cluster/silhouette.html 他们也有肘法

【参考方案6】：

我的想法是使用Silhouette Coefficient 来找到最佳簇数（K）。详细解释是here。

【参考方案7】：

有一种叫做经验法则的东西。它说簇的数量可以通过

k = (n/2)^0.5

其中 n 是样本中元素的总数。 您可以在以下论文中检查此信息的真实性：

http://www.ijarcsms.com/docs/paper/volume1/issue6/V1I6-0015.pdf

还有另一种称为 G 均值的方法，您的分布遵循高斯分布或正态分布。 它包括增加 k 直到所有 k 组都遵循高斯分布。 它需要大量统计数据，但可以完成。 以下是出处：

http://papers.nips.cc/paper/2526-learning-the-k-in-k-means.pdf

我希望这会有所帮助！

【参考方案8】：

假设您有一个名为 DATA 的数据矩阵，您可以通过估计聚类数量（通过轮廓分析）围绕中心点执行分区，如下所示：

library(fpc)
maxk <- 20  # arbitrary here, you can set this to whatever you like
estimatedK <- pamk(dist(DATA), krange=1:maxk)$nc

【参考方案9】：

我很惊讶没有人提到这篇优秀的文章： http://www.ee.columbia.edu/~dpwe/papers/PhamDN05-kmeans.pdf

在遵循了其他几个建议后，我在阅读此博客时终于看到了这篇文章： https://datasciencelab.wordpress.com/2014/01/21/selection-of-k-in-k-means-clustering-reloaded/

之后我在 Scala 中实现了它，这种实现对于我的用例来说提供了非常好的结果。代码如下：

import breeze.linalg.DenseVector
import Kmeans.Features, _
import nak.cluster.Kmeans => NakKmeans

import scala.collection.immutable.IndexedSeq
import scala.collection.mutable.ListBuffer

/*
https://datasciencelab.wordpress.com/2014/01/21/selection-of-k-in-k-means-clustering-reloaded/
 */
class Kmeans(features: Features) 
  def fkAlphaDispersionCentroids(k: Int, dispersionOfKMinus1: Double = 0d, alphaOfKMinus1: Double = 1d): (Double, Double, Double, Features) = 
    if (1 == k || 0d == dispersionOfKMinus1) (1d, 1d, 1d, Vector.empty)
    else 
      val featureDimensions = features.headOption.map(_.size).getOrElse(1)
      val (dispersion, centroids: Features) = new NakKmeans[DenseVector[Double]](features).run(k)
      val alpha =
        if (2 == k) 1d - 3d / (4d * featureDimensions)
        else alphaOfKMinus1 + (1d - alphaOfKMinus1) / 6d
      val fk = dispersion / (alpha * dispersionOfKMinus1)
      (fk, alpha, dispersion, centroids)
    
  

  def fks(maxK: Int = maxK): List[(Double, Double, Double, Features)] = 
    val fadcs = ListBuffer[(Double, Double, Double, Features)](fkAlphaDispersionCentroids(1))
    var k = 2
    while (k <= maxK) 
      val (fk, alpha, dispersion, features) = fadcs(k - 2)
      fadcs += fkAlphaDispersionCentroids(k, dispersion, alpha)
      k += 1
    
    fadcs.toList
  

  def detK: (Double, Features) = 
    val vals = fks().minBy(_._1)
    (vals._3, vals._4)
  


object Kmeans 
  val maxK = 10
  type Features = IndexedSeq[DenseVector[Double]]

【讨论】：

在 scala 2.11.7 中实现，微风 0.12 和 nak 1.3

嗨@eirirlar 我正在尝试用 Python 实现相同的代码 - 但我无法遵循网站中的代码。见我的帖子：***.com/questions/36729826/python-k-means-clustering

@ImranRashid 抱歉，我只测试了二维，我不是 Python 专家。

【参考方案10】：

如果您使用 MATLAB（自 2013b 以来的任何版本），您可以使用函数 evalclusters 找出给定数据集的最佳 k 应该是什么。

此功能可让您从 3 种聚类算法中进行选择 - kmeans、linkage 和 gmdistribution。

它还允许您从 4 个聚类评估标准中进行选择 - CalinskiHarabasz、DaviesBouldin、gap 和 silhouette。

【参考方案11】：

一个可能的答案是使用像遗传算法这样的元启发式算法来找到 k。 这很简单。您可以使用随机 K（在某个范围内）并使用诸如剪影之类的测量来评估遗传算法的拟合函数 并根据拟合函数找到最佳 K。

https://en.wikipedia.org/wiki/Silhouette_(clustering)

【参考方案12】：

km=[]
for i in range(num_data.shape[1]):
    kmeans = KMeans(n_clusters=ncluster[i])#we take number of cluster bandwidth theory
    ndata=num_data[[i]].dropna()
    ndata['labels']=kmeans.fit_predict(ndata.values)
    cluster=ndata
    co=cluster.groupby(['labels'])[cluster.columns[0]].count()#count for frequency
    me=cluster.groupby(['labels'])[cluster.columns[0]].median()#median
    ma=cluster.groupby(['labels'])[cluster.columns[0]].max()#Maximum
    mi=cluster.groupby(['labels'])[cluster.columns[0]].min()#Minimum
    stat=pd.concat([mi,ma,me,co],axis=1)#Add all column
    stat['variable']=stat.columns[1]#Column name change
    stat.columns=['Minimum','Maximum','Median','count','variable']
    l=[]
    for j in range(ncluster[i]):
        n=[mi.loc[j],ma.loc[j]] 
        l.append(n)

    stat['Class']=l
    stat=stat.sort(['Minimum'])
    stat=stat[['variable','Class','Minimum','Maximum','Median','count']]
    if missing_num.iloc[i]>0:
        stat.loc[ncluster[i]]=0
        if stat.iloc[ncluster[i],5]==0:
            stat.iloc[ncluster[i],5]=missing_num.iloc[i]
            stat.iloc[ncluster[i],0]=stat.iloc[0,0]
    stat['Percentage']=(stat[[5]])*100/count_row#Freq PERCENTAGE
    stat['Cumulative Percentage']=stat['Percentage'].cumsum()
    km.append(stat)
cluster=pd.concat(km,axis=0)## see documentation for more info
cluster=cluster.round('Minimum': 2, 'Maximum': 2,'Median':2,'Percentage':2,'Cumulative Percentage':2)

【讨论】：

您选择数据和库添加，然后将 km=[] 复制到 Percentage':2) 最后运行您的 python 并查看

欢迎来到 Stack Overflow！尽管此代码可能有助于解决问题，但它并没有解释 why 和/或 如何 回答问题。提供这种额外的背景将显着提高其长期教育价值。请edit您的答案添加解释，包括适用的限制和假设。

【参考方案13】：

可能是像我这样寻找代码示例的初学者。 silhouette_score 的信息 可用here.

from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.metrics import silhouette_score

range_n_clusters = [2, 3, 4]            # clusters range you want to select
dataToFit = [[12,23],[112,46],[45,23]]  # sample data
best_clusters = 0                       # best cluster number which you will get
previous_silh_avg = 0.0

for n_clusters in range_n_clusters:
    clusterer = KMeans(n_clusters=n_clusters)
    cluster_labels = clusterer.fit_predict(dataToFit)
    silhouette_avg = silhouette_score(dataToFit, cluster_labels)
    if silhouette_avg > previous_silh_avg:
        previous_silh_avg = silhouette_avg
        best_clusters = n_clusters

# Final Kmeans for best_clusters
kmeans = KMeans(n_clusters=best_clusters, random_state=0).fit(dataToFit)

【讨论】：

示例不适用于 scikit-learn 版本：0.24.2。 Silhouette_score（dataToFit、cluster_labels）上的错误。 “发生异常：ValueError 标签数为 3。有效值为 2 到 n_samples - 1（含）”

你应该看看这个：***.com/questions/51382250/…

【参考方案14】：

我使用了我在这里找到的解决方案：http://efavdb.com/mean-shift/，它对我来说效果很好：

import numpy as np
from sklearn.cluster import MeanShift, estimate_bandwidth
from sklearn.datasets.samples_generator import make_blobs
import matplotlib.pyplot as plt
from itertools import cycle
from PIL import Image

#%% Generate sample data
centers = [[1, 1], [-.75, -1], [1, -1], [-3, 2]]
X, _ = make_blobs(n_samples=10000, centers=centers, cluster_std=0.6)

#%% Compute clustering with MeanShift

# The bandwidth can be automatically estimated
bandwidth = estimate_bandwidth(X, quantile=.1,
                               n_samples=500)
ms = MeanShift(bandwidth=bandwidth, bin_seeding=True)
ms.fit(X)
labels = ms.labels_
cluster_centers = ms.cluster_centers_

n_clusters_ = labels.max()+1

#%% Plot result
plt.figure(1)
plt.clf()

colors = cycle('bgrcmykbgrcmykbgrcmykbgrcmyk')
for k, col in zip(range(n_clusters_), colors):
    my_members = labels == k
    cluster_center = cluster_centers[k]
    plt.plot(X[my_members, 0], X[my_members, 1], col + '.')
    plt.plot(cluster_center[0], cluster_center[1],
             'o', markerfacecolor=col,
             markeredgecolor='k', markersize=14)
plt.title('Estimated number of clusters: %d' % n_clusters_)
plt.show()

【参考方案15】：

另一种方法是使用自组织图 (SOP) 来查找最佳集群数量。 SOM（自组织图）是一种无监督的神经网络 网络方法，它只需要输入用于 聚类解决问题。这种方法在一篇关于客户细分的论文中使用。

论文的参考文献是

Abdellah Amine 等人，电子商务中的客户细分模型 聚类技术和 LRFM 模型：案例 摩洛哥在线商店，世界科学、工程和技术学院 国际计算机与信息工程杂志 Vol:9, No:8, 2015, 1999 - 2010

【参考方案16】：

如果您不知道作为参数提供给 k-means 的聚类 k 的数量，那么有四种方法可以自动找到它：

G-means 算法：它使用统计测试自动发现集群的数量，以决定是否将 k-means 中心一分为二。该算法采用分层方法来检测集群的数量，基于对数据子集遵循高斯分布（近似于事件的精确二项式分布的连续函数）的假设的统计检验，如果不是，则拆分集群.它从少量中心开始，比如只有一个集群 (k=1)，然后算法将其拆分为两个中心 (k=2) 并再次拆分这两个中心中的每一个 (k=4)，其中有四个中心全部的。如果 G-means 不接受这四个中心，那么答案是上一步：在这种情况下是两个中心 (k=2)。这是您的数据集将分成的集群数量。当您无法估计分组实例后将获得的集群数量时，G-means 非常有用。请注意，“k”参数的不方便选择可能会给您错误的结果。 g-means 的并行版本称为p-means。 G-均值来源： source 1 source 2 source 3

x-means：一种新算法，可有效搜索集群位置空间和集群数量，以优化贝叶斯信息准则 (BIC) 或 Akaike 信息准则 (AIC) 度量。这个版本的 k-means 找到数字 k 并且还加速了 k-means。

在线 k-means 或 Streaming k-means：它允许通过扫描整个数据一次来执行 k-means，并自动找到最佳 k 数。 Spark 实现了它。

MeanShift algorithm：它是一种非参数聚类技术，不需要事先知道聚类的数量，也不限制聚类的形状。均值偏移聚类旨在发现平滑密度样本中的“斑点”。它是一种基于质心的算法，它通过将候选质心更新为给定区域内点的平均值来工作。然后在后处理阶段对这些候选对象进行过滤，以消除近似重复以形成最终的质心集。来源：source1、source2、source3

【参考方案17】：

您好，我会简单明了地解释一下，我喜欢使用“NbClust”库来确定集群。

现在，如何使用“NbClust”函数来确定正确的集群数量：您可以使用实际数据和集群检查 Github 中的实际项目 - 对这个“kmeans”算法的扩展也使用正确数量的“中心”。

Github 项目链接：https://github.com/RutvijBhutaiya/Thailand-Customer-Engagement-Facebook

【讨论】：

除了添加 github 链接，您能否添加几行关键代码，即使您的代码无法访问也可以帮助其他人？

【参考方案18】：

您可以通过直观地检查数据点来选择集群的数量，但您很快就会意识到，除了最简单的数据集之外，此过程中存在很多歧义。这并不总是很糟糕，因为您正在进行无监督学习，并且在标记过程中存在一些固有的主观性。在这里，具有该特定问题或类似问题的先前经验将帮助您选择正确的值。

如果您想了解应该使用的集群数量，可以应用 Elbow 方法：

首先，计算某些 k 值（例如 2、4、6、8 等）的误差平方和 (SSE)。 SSE 定义为集群的每个成员与其质心之间的平方距离之和。数学上：

SSE=∑Ki=1∑x∈cidist(x,ci)2

如果你将 k 与 SSE 作图，你会看到误差随着 k 变大而减小；这是因为当簇的数量增加时，它们应该更小，因此失真也更小。肘部法的思想是选择 SSE 突然下降的 k。这会在图中产生“肘部效应”，如下图所示：

在这种情况下，k=6 是 Elbow 方法选择的值。考虑到 Elbow 方法是一种启发式方法，因此，它在您的特定情况下可能会或可能不会很好地工作。有时，有不止一个肘部，或者根本没有肘部。在这些情况下，您通常最终通过评估 k-means 在您尝试解决的特定聚类问题的上下文中的执行情况来计算最佳 k。

【参考方案19】：

我研究了一个 Python 包膝盖（Kneedle 算法）。它动态地找到簇数作为曲线开始变平的点。给定一组 x 和 y 值，kneed 将返回函数的拐点。膝关节是曲率最大的点。这是示例代码。

y = [7342.1301373073857, 6881.7109460930769, 6531.1657905495022,  
6356.2255554679778, 6209.8382535595829, 6094.9052166741121, 
5980.0191582610196, 5880.1869867848218, 5779.8957906367368, 
5691.1879324562778, 5617.5153566271356, 5532.2613232619951, 
5467.352265375117, 5395.4493783888756, 5345.3459908298091, 
5290.6769823693812, 5243.5271656371888, 5207.2501206569532, 
5164.9617535255456]

x = range(1, len(y)+1)

from kneed import KneeLocator
kn = KneeLocator(x, y, curve='convex', direction='decreasing')

print(kn.knee)

【讨论】：

请在您的答案中添加一些解释，以便其他人可以从中学习

【参考方案20】：

在这里留下一个来自 Codecademy 课程的非常酷的 gif：

K-Means 算法：

为初始集群放置 k 个随机质心。 将数据样本分配到最近的质心。 根据上述分配的数据样本更新质心。

顺便说一句，它不是对完整算法的解释，它只是有用的可视化