`poly()` 如何生成正交多项式？如何理解返回的“coefs”？
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【中文标题】`poly()` 如何生成正交多项式？如何理解返回的“coefs”？【英文标题】：How `poly()` generates orthogonal polynomials? How to understand the "coefs" returned? 【发布时间】：2016-12-26 03:36:25 【问题描述】：我对正交多项式的理解是它们采用以下形式
y(x) = a1 + a2(x - c1) + a3(x - c2)(x - c3) + a4(x - c4)(x - c5)(x - c6).. . 不超过所需的词条数
其中 a1、a2 etc 是每个正交项的系数（因拟合而异），而 c1 , c2 etc 是正交项内的系数，确定这些项以保持正交性（在使用相同 x 值的拟合之间保持一致）
我了解poly() 用于拟合正交多项式。一个例子
x = c(1.160, 1.143, 1.126, 1.109, 1.079, 1.053, 1.040, 1.027, 1.015, 1.004, 0.994, 0.985, 0.977) # abscissae not equally spaced
y = c(1.217395, 1.604360, 2.834947, 4.585687, 8.770932, 9.996260, 9.264800, 9.155079, 7.949278, 7.317690, 6.377519, 6.409620, 6.643426)
# construct the orthogonal polynomial
orth_poly <- poly(x, degree = 5)
# fit y to orthogonal polynomial
model <- lm(y ~ orth_poly)
我想同时提取系数a1、a2 etc，以及正交系数c1，c2 等。我不知道该怎么做。我的猜测是
model$coefficients
返回第一组系数，但我正在努力如何提取其他系数。也许在
attributes(orth_poly)$coefs
?
非常感谢。
【问题讨论】：
【参考方案1】：我刚刚意识到 2 年前有一个密切相关的问题Extracting orthogonal polynomial coefficients from R's poly() function?。那里的答案只是解释predict.poly 做了什么，但我的答案给出了一个完整的画面。
第 1 部分：poly 如何表示正交多项式
我对正交多项式的理解是它们采用以下形式
y(x) = a1 + a2(x - c1) + a3(x - c2)(x - c3) + a4(x - c4)(x - c5)(x - c6).. . 不超过所需的词条数
不不，没有这样干净的形式。 poly() 生成一元正交多项式，可以用以下递归算法表示。这就是predict.poly 生成线性预测矩阵的方式。令人惊讶的是，poly 本身并没有使用这种递归，而是使用了一种残酷的力量：正交跨度的普通多项式模型矩阵的 QR 分解。但是，这相当于递归。
第 2 节：poly() 的输出说明
让我们考虑一个例子。在您的帖子中使用x，
X <- poly(x, degree = 5)
# 1 2 3 4 5
# [1,] 0.484259711 0.48436462 0.48074040 0.351250507 0.25411350
# [2,] 0.406027697 0.20038942 -0.06236564 -0.303377083 -0.46801416
# [3,] 0.327795682 -0.02660187 -0.34049024 -0.338222850 -0.11788140
# ... ... ... ... ... ...
#[12,] -0.321069852 0.28705108 -0.15397819 -0.006975615 0.16978124
#[13,] -0.357884918 0.42236400 -0.40180712 0.398738364 -0.34115435
#attr(,"coefs")
#attr(,"coefs")$alpha
#[1] 1.054769 1.078794 1.063917 1.075700 1.063079
#
#attr(,"coefs")$norm2
#[1] 1.000000e+00 1.300000e+01 4.722031e-02 1.028848e-04 2.550358e-07
#[6] 5.567156e-10 1.156628e-12
以下是这些属性的含义：
alpha[1] 给出x_bar = mean(x)，即中心；
alpha - alpha[1] 给出 alpha0, alpha1, ..., alpha4（alpha5 已计算但在 poly 返回 X 之前删除，因为它不会在 predict.poly 中使用）；
norm2 的第一个值始终为 1。倒数第二个是l0、l1、...、l5，给出了X 的平方列范数； l0 是删除的P0(x - x_bar) 的列平方范数，始终为n（即length(x)）；而第一个 1 只是被填充，以便递归在 predict.poly 内部进行。
beta0, beta1, beta2, ..., beta_5 不会返回，但可以通过 norm2[-1] / norm2[-length(norm2)] 计算。
第 3 部分：使用 QR 分解和递归算法实现 poly
如前所述，poly 不使用递归，而predict.poly 使用。就我个人而言，我不明白这种不一致设计背后的逻辑/原因。在这里，我将提供一个自己编写的函数my_poly，它使用递归来生成矩阵，如果QR = FALSE。当QR = TRUE 时，它是一个类似但不相同的实现poly。代码注释很好，有助于你理解这两种方法。
## return a model matrix for data `x`
my_poly <- function (x, degree = 1, QR = TRUE)
## check feasibility
if (length(unique(x)) < degree)
stop("insufficient unique data points for specified degree!")
## centring covariates (so that `x` is orthogonal to intercept)
centre <- mean(x)
x <- x - centre
if (QR)
## QR factorization of design matrix of ordinary polynomial
QR <- qr(outer(x, 0:degree, "^"))
## X <- qr.Q(QR) * rep(diag(QR$qr), each = length(x))
## i.e., column rescaling of Q factor by `diag(R)`
## also drop the intercept
X <- qr.qy(QR, diag(diag(QR$qr), length(x), degree + 1))[, -1, drop = FALSE]
## now columns of `X` are orthorgonal to each other
## i.e., `crossprod(X)` is diagonal
X2 <- X * X
norm2 <- colSums(X * X) ## squared L2 norm
alpha <- drop(crossprod(X2, x)) / norm2
beta <- norm2 / (c(length(x), norm2[-degree]))
colnames(X) <- 1:degree
else
beta <- alpha <- norm2 <- numeric(degree)
## repeat first polynomial `x` on all columns to initialize design matrix X
X <- matrix(x, nrow = length(x), ncol = degree, dimnames = list(NULL, 1:degree))
## compute alpha[1] and beta[1]
norm2[1] <- new_norm <- drop(crossprod(x))
alpha[1] <- sum(x ^ 3) / new_norm
beta[1] <- new_norm / length(x)
if (degree > 1L)
old_norm <- new_norm
## second polynomial
X[, 2] <- Xi <- (x - alpha[1]) * X[, 1] - beta[1]
norm2[2] <- new_norm <- drop(crossprod(Xi))
alpha[2] <- drop(crossprod(Xi * Xi, x)) / new_norm
beta[2] <- new_norm / old_norm
old_norm <- new_norm
## further polynomials obtained from recursion
i <- 3
while (i <= degree)
X[, i] <- Xi <- (x - alpha[i - 1]) * X[, i - 1] - beta[i - 1] * X[, i - 2]
norm2[i] <- new_norm <- drop(crossprod(Xi))
alpha[i] <- drop(crossprod(Xi * Xi, x)) / new_norm
beta[i] <- new_norm / old_norm
old_norm <- new_norm
i <- i + 1
## column rescaling so that `crossprod(X)` is an identity matrix
scale <- sqrt(norm2)
X <- X * rep(1 / scale, each = length(x))
## add attributes and return
attr(X, "coefs") <- list(centre = centre, scale = scale, alpha = alpha[-degree], beta = beta[-degree])
X
第 4 节：my_poly 的输出说明
X <- my_poly(x, 5, FALSE)
生成的矩阵与poly 生成的矩阵相同，因此省略了。属性不一样。
#attr(,"coefs")
#attr(,"coefs")$centre
#[1] 1.054769
#attr(,"coefs")$scale
#[1] 2.173023e-01 1.014321e-02 5.050106e-04 2.359482e-05 1.075466e-06
#attr(,"coefs")$alpha
#[1] 0.024025005 0.009147498 0.020930616 0.008309835
#attr(,"coefs")$beta
#[1] 0.003632331 0.002178825 0.002478848 0.002182892
my_poly返回构造信息更明显：
centre 给x_bar = mean(x);
scale 给出列范数（norm2 的平方根由 poly 返回）；
alpha 给 alpha1, alpha2, alpha3, alpha4;
beta 给出beta1、beta2、beta3、beta4。
第 5 部分：my_poly 的预测例程
由于my_poly返回不同的属性，stats:::predict.poly与my_poly不兼容。这是适当的例程my_predict_poly：
## return a linear predictor matrix, given a model matrix `X` and new data `x`
my_predict_poly <- function (X, x)
## extract construction info
coefs <- attr(X, "coefs")
centre <- coefs$centre
alpha <- coefs$alpha
beta <- coefs$beta
degree <- ncol(X)
## centring `x`
x <- x - coefs$centre
## repeat first polynomial `x` on all columns to initialize design matrix X
X <- matrix(x, length(x), degree, dimnames = list(NULL, 1:degree))
if (degree > 1L)
## second polynomial
X[, 2] <- (x - alpha[1]) * X[, 1] - beta[1]
## further polynomials obtained from recursion
i <- 3
while (i <= degree)
X[, i] <- (x - alpha[i - 1]) * X[, i - 1] - beta[i - 1] * X[, i - 2]
i <- i + 1
## column rescaling so that `crossprod(X)` is an identity matrix
X * rep(1 / coefs$scale, each = length(x))
考虑一个例子：
set.seed(0); x1 <- runif(5, min(x), max(x))
和
stats:::predict.poly(poly(x, 5), x1)
my_predict_poly(my_poly(x, 5, FALSE), x1)
给出完全相同的结果预测矩阵：
# 1 2 3 4 5
#[1,] 0.39726381 0.1721267 -0.10562568 -0.3312680 -0.4587345
#[2,] -0.13428822 -0.2050351 0.28374304 -0.0858400 -0.2202396
#[3,] -0.04450277 -0.3259792 0.16493099 0.2393501 -0.2634766
#[4,] 0.12454047 -0.3499992 -0.24270235 0.3411163 0.3891214
#[5,] 0.40695739 0.2034296 -0.05758283 -0.2999763 -0.4682834
请注意，预测例程仅采用现有的构造信息，而不是重构多项式。
第 6 部分：将 poly 和 predict.poly 视为黑匣子
很少需要了解里面的一切。对于统计建模，知道poly 为模型拟合构建多项式基础就足够了，其系数可以在lmObject$coefficients 中找到。在进行预测时，predict.poly 永远不需要用户调用，因为predict.lm 会为你做这件事。这样一来，把poly和predict.poly当成黑匣子就完全没问题了。
【讨论】：
感谢@ZheyuanLi 对一个比最初想到的更复杂的问题的示例性回答，特别是对答案进行分段并提供您自己的功能。我必须承认我对所使用的方法有点困惑，但了解一般目的。我对正交多项式形式的（显然是初步的）理解取自数据缩减教科书（Bevington & Robinson 2003, pg. 128, eq. 7.28）。我假设poly 的输出与此直接相关，但我不知道poly 适合它们的不同方式。再次感谢！
为@ZheyuanLi 的精彩回答鼓掌。如果有兴趣，可以在以下位置发布一些相关的帖子：***.com/questions/31457230/…
在第 1 节的第 4 步中，(x-a) 项中的 x 未居中。在弄清楚这一点之前花了一个小时的强烈挫败感。
这是一个很好的答案，谢谢。如果我可以问，第 1 部分中的图片的来源是什么？以上是关于`poly()` 如何生成正交多项式？如何理解返回的“coefs”？的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章