归一化向量，使总和等于 1，同时满足下限

Posted 2023-03-12

【中文标题】归一化向量，使总和等于 1，同时满足下限

【英文标题】：Normalize vector such that sum equals 1, while satisfying a lower bound

【发布时间】：2021-11-22 15:37:58

【问题描述】：

给定下限 0.025，我想要一个由总和为 1 并满足该下限的权重组成的向量。从任意长度的向量开始，取值范围从 0.025（下限）到 1。

例如，

[0.025, 0.8, 0.7]

然后，除以数字之和的归一化大致得出以下结果：

[0.016, 0.524, 0.459]

现在这不满足下限，关于如何让它工作的任何想法？

【问题讨论】：

当您说“然后是规范化”时，您的确切意思是什么？现在好像你说你想将每个元素除以所有元素的总和，这对我来说真的没有意义。

目标是在满足下限的同时获得总和为 1 的权重。标准化方法对此不起作用。权重最终总和为 1，但不满足下限。

【参考方案1】：

如果您希望权重（数组中的值）总和为 1，则可以将每个值除以所有值的总和（即除以总和进行归一化）。这个过程保持每对值的相对大小，我的意思是：在这一步之前和之后，第二项将是第四项的 5 倍。

另一方面，您希望所有值都大于 0.025。想象一下，如果一个项目在归一化之前是另一个项目的 50 倍，并且最小值必须是 0.025，那么另一个项目需要是 1.25，这已经大于总和。

你可以发现你不能（给定任何数组）只是平等地缩放所有值，以便它们总和为 1 AND 最小值为 0.025。

那么问题是你想在过程中保持值之间的什么关系？

另一方面，你不能有超过 40 个项目，都大于 0.025，总和为 1。所以“任意长度”也行不通。

【参考方案2】：

将下限添加到被除数和除数：

为了便于阅读，我使用了numpy：

import numpy as np

v = np.array([0.025, 0.8, 0.7])

v2 = (v + min(v)) / sum(v + min(v))

输出：

>>> v2
array([0.03125 , 0.515625, 0.453125])

>>> sum(v2)
1.0

【讨论】：

对于这个例子，它似乎工作。但是，在评估以下代码时，我确实获得了低于 min_weight 的值，该值设置为 0.025； weights = np.random.rand(len(assets)), normalized_weights = (weights + min_weight) / sum(weights + min_weight), print(normalized_weights)，其中 len(assets) 为 33。