在 R 中拟合正态分布
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【中文标题】在 R 中拟合正态分布【英文标题】：Fitting a normal distribution in R 【发布时间】：2017-02-19 02:13:44 【问题描述】：我正在使用以下代码来拟合正态分布。 “b”的数据集链接（太大而无法直接发布）是：
link for b
setwd("xxxxxx")
library(fitdistrplus)
require(MASS)
tazur <-read.csv("b", header= TRUE, sep=",")
claims<-tazur$b
a<-log(claims)
plot(hist(a))
绘制直方图后，看起来正态分布应该很合适。
f1n <- fitdistr(claims,"normal")
summary(f1n)
#Length Class Mode
#estimate 2 -none- numeric
#sd 2 -none- numeric
#vcov 4 -none- numeric
#n 1 -none- numeric
#loglik 1 -none- numeric
plot(f1n)
xy.coords(x, y, xlabel, ylabel, log) 中的错误：
'x' 是一个列表，但没有组件 'x' 和 'y'
当我尝试绘制拟合分布时出现上述错误，甚至 f1n 的汇总统计信息都已关闭。
不胜感激。
【问题讨论】：
m <- mean(claims); s <- sd(claims)
【参考方案1】：
回顾之前的答案
在上一个答案中，我没有提到两种方法之间的区别。一般来说，如果我们选择最大似然推断，我建议使用MASS::fitdistr，因为对于许多基本分布，它执行精确推断而不是数值优化。 ?fitdistr 的文档说得很清楚：
For the Normal, log-Normal, geometric, exponential and Poisson
distributions the closed-form MLEs (and exact standard errors) are
used, and ‘start’ should not be supplied.
For all other distributions, direct optimization of the
log-likelihood is performed using ‘optim’. The estimated standard
errors are taken from the observed information matrix, calculated
by a numerical approximation. For one-dimensional problems the
Nelder-Mead method is used and for multi-dimensional problems the
BFGS method, unless arguments named ‘lower’ or ‘upper’ are
supplied (when ‘L-BFGS-B’ is used) or ‘method’ is supplied
explicitly.
另一方面，fitdistrplus::fitdist 总是以数字方式执行推理，即使存在精确推理。当然，fitdist 的优势在于可以使用更多的推理原理：
Fit of univariate distributions to non-censored data by maximum
likelihood (mle), moment matching (mme), quantile matching (qme)
or maximizing goodness-of-fit estimation (mge).
本回答的目的
这个答案将探索正态分布的精确推断。它会有理论的味道，但没有可能性原理的证明；只给出结果。基于这些结果，我们编写了自己的 R 函数进行精确推理，可以与 MASS::fitdistr 进行比较。另一方面，为了与fitdistrplus::fitdist 进行比较，我们使用optim 在数值上最小化负对数似然函数。
这是学习统计和optim 的相对高级用法的绝佳机会。为方便起见，我将估计尺度参数：方差，而不是标准误差。
正态分布的精确推断
自己编写推理函数
下面的代码注释很好。有一个开关exact。如果设置FALSE，则选择数值解。
## fitting a normal distribution
fitnormal <- function (x, exact = TRUE)
if (exact)
################################################
## Exact inference based on likelihood theory ##
################################################
## minimum negative log-likelihood (maximum log-likelihood) estimator of `mu` and `phi = sigma ^ 2`
n <- length(x)
mu <- sum(x) / n
phi <- crossprod(x - mu)[1L] / n # (a bised estimator, though)
## inverse of Fisher information matrix evaluated at MLE
invI <- matrix(c(phi, 0, 0, phi * phi), 2L,
dimnames = list(c("mu", "sigma2"), c("mu", "sigma2")))
## log-likelihood at MLE
loglik <- -(n / 2) * (log(2 * pi * phi) + 1)
## return
return(list(theta = c(mu = mu, sigma2 = phi), vcov = invI, loglik = loglik, n = n))
else
##################################################################
## Numerical optimization by minimizing negative log-likelihood ##
##################################################################
## negative log-likelihood function
## define `theta = c(mu, phi)` in order to use `optim`
nllik <- function (theta, x)
(length(x) / 2) * log(2 * pi * theta[2]) + crossprod(x - theta[1])[1] / (2 * theta[2])
## gradient function (remember to flip the sign when using partial derivative result of log-likelihood)
## define `theta = c(mu, phi)` in order to use `optim`
gradient <- function (theta, x)
pl2pmu <- -sum(x - theta[1]) / theta[2]
pl2pphi <- -crossprod(x - theta[1])[1] / (2 * theta[2] ^ 2) + length(x) / (2 * theta[2])
c(pl2pmu, pl2pphi)
## ask `optim` to return Hessian matrix by `hessian = TRUE`
## use "..." part to pass `x` as additional / further argument to "fn" and "gn"
## note, we want `phi` as positive so box constraint is used, with "L-BFGS-B" method chosen
init <- c(sample(x, 1), sample(abs(x) + 0.1, 1)) ## arbitrary valid starting values
z <- optim(par = init, fn = nllik, gr = gradient, x = x, lower = c(-Inf, 0), method = "L-BFGS-B", hessian = TRUE)
## post processing ##
theta <- z$par
loglik <- -z$value ## flip the sign to get log-likelihood
n <- length(x)
## Fisher information matrix (don't flip the sign as this is the Hessian for negative log-likelihood)
I <- z$hessian / n ## remember to take average to get mean
invI <- solve(I, diag(2L)) ## numerical inverse
dimnames(invI) <- list(c("mu", "sigma2"), c("mu", "sigma2"))
## return
return(list(theta = theta, vcov = invI, loglik = loglik, n = n))
我们仍然使用之前的数据进行测试：
set.seed(0); x <- rnorm(500)
## exact inference
fit <- fitnormal(x)
#$theta
# mu sigma2
#-0.0002000485 0.9773790969
#
#$vcov
# mu sigma2
#mu 0.9773791 0.0000000
#sigma2 0.0000000 0.9552699
#
#$loglik
#[1] -703.7491
#
#$n
#[1] 500
hist(x, prob = TRUE)
curve(dnorm(x, fit$theta[1], sqrt(fit$theta[2])), add = TRUE, col = 2)
数值方法也相当准确，只是方差协方差在对角线上没有精确的 0：
fitnormal(x, FALSE)
#$theta
#[1] -0.0002235315 0.9773732277
#
#$vcov
# mu sigma2
#mu 9.773826e-01 5.359978e-06
#sigma2 5.359978e-06 1.910561e+00
#
#$loglik
#[1] -703.7491
#
#$n
#[1] 500
【讨论】：
让我开心，找到关于堆栈溢出的估算器理论，向你致敬【参考方案2】：您似乎在混淆 MASS::fitdistr 和 fitdistrplus::fitdist。
MASS::fitdistr 返回类“fitdistr”的对象，并且没有用于此的绘图方法。所以你需要自己提取估计的参数并绘制估计的密度曲线。
我不知道你为什么加载包fitdistrplus，因为你的函数调用清楚地表明你正在使用MASS。无论如何，fitdistrplus 具有函数fitdist，它返回类“fitdist”的对象。该类有 plot 方法，但不适用于MASS 返回的“fitdistr”。
我将向您展示如何使用这两个包。
## reproducible example
set.seed(0); x <- rnorm(500)
使用MASS::fitdistr
没有可用的绘图方法，所以自己做。
library(MASS)
fit <- fitdistr(x, "normal")
class(fit)
# [1] "fitdistr"
para <- fit$estimate
# mean sd
#-0.0002000485 0.9886248515
hist(x, prob = TRUE)
curve(dnorm(x, para[1], para[2]), col = 2, add = TRUE)
使用fitdistrplus::fitdist
library(fitdistrplus)
FIT <- fitdist(x, "norm") ## note: it is "norm" not "normal"
class(FIT)
# [1] "fitdist"
plot(FIT) ## use method `plot.fitdist`
【讨论】：
值得一提的是，您可以通过mean(x)、sd(x) 优化估计正态分布的参数... ???
是的（虽然平均值的不确定性在封闭形式中也很容易 - SD 的不确定性有点麻烦）
如果是 Wald 标准错误，那么我认为 delta 方法应该有效：SE(f(x)) 约。 df/dx * SE(x) ... 在这种情况下 f(x) 是 sqrt(x)，所以如果我做对了，SE(sd) = 0.5/sqrt(x)*SE(var)。 （如果你有基于似然比检验的区间，那么它们在变换下是不变的，所以只需取区间末端的平方根。）以上是关于在 R 中拟合正态分布的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章