假设分布未知，从样本数据计算置信区间

Posted 2023-03-12

【中文标题】假设分布未知，从样本数据计算置信区间

【英文标题】：Compute a confidence interval from sample data assuming unknown distribution

【发布时间】：2017-11-07 15:29:56

【问题描述】：

假设分布不正常且未知，我想计算置信区间的样本数据。基本上，看起来分布是 Pareto 但我不确定。

正态分布的答案：

Compute a confidence interval from sample data

Correct way to obtain confidence interval with scipy

【参考方案1】：

如果您不知道底层分布，那么我的第一个想法是使用引导：https://en.wikipedia.org/wiki/Bootstrapping_(statistics)

在伪代码中，假设 x 是一个包含您的数据的 numpy 数组：

import numpy as np
N = 10000
mean_estimates = []
for _ in range(N):
    re_sample_idx = np.random.randint(0, len(x), x.shape)
    mean_estimates.append(np.mean(x[re_sample_idx]))

mean_estimates 现在是一个包含 10000 个分布均值估计值的列表。取这 10000 个值的第 2.5 和第 97.5 个百分位数，您就有一个围绕数据平均值的置信区间：

sorted_estimates = np.sort(np.array(mean_estimates))
conf_interval = [sorted_estimates[int(0.025 * N)], sorted_estimates[int(0.975 * N)]]

【讨论】：

我已经用真实数据进行了测试。看起来好像错了。我得到了 Conf Int: [22.78, 69.93] 。 (np.array(x)

【参考方案2】：

从另一个答案的讨论中，我假设您想要总体均值的置信区间，是吗？ （对于某个数量，您必须有一个置信区间，而不是分布本身。）

对于所有具有有限矩的分布，均值的抽样分布渐近趋于正态分布，均值等于总体均值，方差等于总体方差除以 n。所以如果你有很多数据，$\mu \pm \Phi^-1(p) \sigma / \sqrtn$ 应该是总体均值的 p 置信区间的一个很好的近似值，即使如果分布不正常。

【参考方案3】：

当前的解决方案不起作用，因为 randint 似乎已被弃用

np.random.seed(10)
point_estimates = []         # Make empty list to hold point estimates

for x in range(200):         # Generate 200 samples
    sample = np.random.choice(a= x, size=x.shape)
    point_estimates.append( sample.mean() )
sorted_estimates = np.sort(np.array(point_estimates))
conf_interval = [sorted_estimates[int(0.025 * N)], sorted_estimates[int(0.975 * N)]]
print(conf_interval, conf_interval[1] - conf_interval[0])
pd.DataFrame(point_estimates).plot(kind="density", legend= False)

【参考方案4】：

您可以使用 bootstrap 来估算来自 UNKNOW 分布的每个数量

def bootstrap_ci(
    data, 
    statfunction=np.average, 
    alpha = 0.05, 
    n_samples = 100):

    """inspired by https://github.com/cgevans/scikits-bootstrap"""
    import warnings

    def bootstrap_ids(data, n_samples=100):
        for _ in range(n_samples):
            yield np.random.randint(data.shape[0], size=(data.shape[0],))    
    
    alphas = np.array([alpha/2, 1 - alpha/2])
    nvals = np.round((n_samples - 1) * alphas).astype(int)
    if np.any(nvals < 10) or np.any(nvals >= n_samples-10):
        warnings.warn("Some values used extremal samples; results are probably unstable. "
                      "Try to increase n_samples")

    data = np.array(data)
    if np.prod(data.shape) != max(data.shape):
        raise ValueError("Data must be 1D")
    data = data.ravel()
    
    boot_indexes = bootstrap_ids(data, n_samples)
    stat = np.asarray([statfunction(data[_ids]) for _ids in boot_indexes])
    stat.sort(axis=0)

    return stat[nvals]

模拟帕累托分布中的一些数据

np.random.seed(33)
data = np.random.pareto(a=1, size=111)
sample_mean = np.mean(data)

plt.hist(data, bins=25)
plt.axvline(sample_mean, c='red', label='sample mean'); plt.legend()

使用引导生成SAMPLE MEAN的置信区间

low_ci, up_ci = bootstrap_ci(data, np.mean, n_samples=1000)

绘制结果

plt.hist(data, bins=25)
plt.axvline(low_ci, c='orange', label='low_ci mean')
plt.axvline(up_ci, c='magenta', label='up_ci mean')
plt.axvline(sample_mean, c='red', label='sample mean'); plt.legend()

使用引导生成分布参数的置信区间

from scipy.stats import pareto

true_params = pareto.fit(data)
low_ci, up_ci = bootstrap_ci(data, pareto.fit, n_samples=1000)

low_ci[0] 和 up_ci[0] 是形状参数的置信区间

low_ci[0], true_params[0], up_ci[0] ---> (0.8786, 1.0983, 1.4599)