如何计算给定均值和标准差的正态分布中的概率？

Posted 2023-03-12

【中文标题】如何计算给定均值和标准差的正态分布中的概率？

【英文标题】：How to calculate probability in a normal distribution given mean & standard deviation?

【发布时间】：2012-09-06 22:22:52

【问题描述】：

如何在 Python 中计算给定均值、std 的正态分布概率？我总是可以根据这个问题中的 OP 所做的定义明确地编写我自己的函数：Calculating Probability of a Random Variable in a Distribution in Python

只是想知道是否有库函数调用将允许您执行此操作。在我的想象中它会是这样的：

nd = NormalDistribution(mu=100, std=12)
p = nd.prob(98)

Perl 中有一个类似的问题：How can I compute the probability at a point given a normal distribution in Perl?。但我在 Python 中没有看到。

Numpy 有一个random.normal 函数，但它就像采样，不是我想要的。

【参考方案1】：

scipy.stats中有一个：

>>> import scipy.stats
>>> scipy.stats.norm(0, 1)
<scipy.stats.distributions.rv_frozen object at 0x928352c>
>>> scipy.stats.norm(0, 1).pdf(0)
0.3989422804014327
>>> scipy.stats.norm(0, 1).cdf(0)
0.5
>>> scipy.stats.norm(100, 12)
<scipy.stats.distributions.rv_frozen object at 0x928352c>
>>> scipy.stats.norm(100, 12).pdf(98)
0.032786643008494994
>>> scipy.stats.norm(100, 12).cdf(98)
0.43381616738909634
>>> scipy.stats.norm(100, 12).cdf(100)
0.5

[需要注意的一件事——只是一个提示——是参数传递有点宽泛。由于代码的设置方式，如果你不小心写了scipy.stats.norm(mean=100, std=12) 而不是scipy.stats.norm(100, 12) 或scipy.stats.norm(loc=100, scale=12)，那么它会接受它，但会默默地丢弃那些额外的关键字参数并给你默认值 (0,1 ).]

【讨论】：

如何从范围中获得概率？从 98 到 102 说？

@DSM：在你上面的例子中，当你说scipy.stats.norm(100, 12).pdf(98)时，这是否意味着在mean 100 和stddev 12的分布中得到98的概率是0.032？

@ThePredator：不，在平均值为 100 且标准差为 12 的正态分布中得到 98 的概率为零。 :-) 密度的概率是0.032。

这种情况下的概率密度是指 y 值，给定正态分布的 x 值 1.42。 cdf 表示我们所说的曲线下面积。

@Leon，那是rv.cdf(102) - rv.cdf(98) rv = scipy.stats.norm(100, 12)。

【参考方案2】：

Scipy.stats 是一个很棒的模块。只是为了提供另一种方法，您可以直接使用计算它

import math
def normpdf(x, mean, sd):
    var = float(sd)**2
    denom = (2*math.pi*var)**.5
    num = math.exp(-(float(x)-float(mean))**2/(2*var))
    return num/denom

这使用此处找到的公式：http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution#Probability_density_function

测试：

>>> normpdf(7,5,5)  
0.07365402806066466
>>> norm(5,5).pdf(7)
0.073654028060664664

【讨论】：

嘿，这是一个非常好的答案。或许您介意提供一步一步的解释吗？

这个方法比scipy需要更少的计算时间

但是 scipy 可以处理均值、标准差和样本数组：mean = [ 5, 10, 20] stddev = [20, 30, 40] for x in ( [ 5, 10, 20], [10, 20, 40], [15, 30, 50], ): prob = scipy.stats.norm(mean, stddev).cdf(x) print(f'prob = prob') 输出：prob = [0.5 0.5 0.5]概率=[0.59870633 0.63055866 0.69146246]概率=[0.69146246 0.74750746 0.77337265]

【参考方案3】：

您可以只使用数学库中内置的错误函数，如他们的website 所述。

【讨论】：

不，@user2340146，也在 Python 2 中：docs.python.org/2/library/math.html#math.erf

【参考方案4】：

答案中提到的***引用的公式不能用于计算正态概率。您必须使用该公式编写一个数值积分近似函数才能计算概率。

该公式计算概率密度函数的值。由于正态分布是连续的，因此您必须计算积分才能获得概率。***网站提到了 CDF，它没有正态分布的封闭形式。

【讨论】：

感谢您的贡献，尽管它更适合作为对您所指答案的评论：如果我理解得很好，您并没有真正回答原始问题。这样，每个人都会第一眼看到你在说什么。

【参考方案5】：

这里是more info。 首先，您正在处理一个冻结分布（在这种情况下冻结意味着它的参数设置为特定值）。创建冻结分布：

import scipy.stats
scipy.stats.norm(loc=100, scale=12)
#where loc is the mean and scale is the std dev
#if you wish to pull out a random number from your distribution
scipy.stats.norm.rvs(loc=100, scale=12)

#To find the probability that the variable has a value LESS than or equal
#let's say 113, you'd use CDF cumulative Density Function
scipy.stats.norm.cdf(113,100,12)
Output: 0.86066975255037792
#or 86.07% probability

#To find the probability that the variable has a value GREATER than or
#equal to let's say 125, you'd use SF Survival Function 
scipy.stats.norm.sf(125,100,12)
Output: 0.018610425189886332
#or 1.86%

#To find the variate for which the probability is given, let's say the 
#value which needed to provide a 98% probability, you'd use the 
#PPF Percent Point Function
scipy.stats.norm.ppf(.98,100,12)
Output: 124.64498692758187

【讨论】：

我非常感谢写这个答案的人。我到处寻找解决这个问题但无法找到它。添加带有代码的 cmets 确实帮助我理解了正在发生的事情。非常感谢。

只想问一个问题，当数据不是正态分布时，这些概率如何计算？在这种情况下我该怎么办？

【参考方案6】：

我编写了这个程序来为你做数学。只需输入摘要统计信息。无需提供数组：

One-Sample Z-Test for a Population Proportion:

要对平均值而不是比例执行此操作，请相应地更改 z 的公式

编辑： 以下是链接中的内容：

import scipy.stats as stats
import math

def one_sample_ztest_pop_proportion(tail, p, pbar, n, alpha):
    #Calculate test stat

    sigma = math.sqrt((p*(1-p))/(n))
    z = round((pbar - p) / sigma, 2)

    if tail == 'lower':
        pval = round(stats.norm(p, sigma).cdf(pbar),4)
        print("Results for a lower tailed z-test: ")


    elif tail == 'upper':
        pval = round(1 - stats.norm(p, sigma).cdf(pbar),4)
        print("Results for an upper tailed z-test: ")


    elif tail == 'two':
        pval = round(stats.norm(p, sigma).cdf(pbar)*2,4)
        print("Results for a two tailed z-test: ")


    #Print test results
    print("Test statistic = ".format(z))   
    print("P-value = ".format(pval))
    print("Confidence = ".format(alpha))

    #Compare p-value to confidence level
    if pval <= alpha:
        print(" <=  . Reject the null hypothesis.".format(pval, alpha))
    else:
        print(" > . Do not reject the null hypothesis.".format(pval, alpha))


#one_sample_ztest_pop_proportion('upper', .20, .25, 400, .05)

#one_sample_ztest_pop_proportion('two', .64, .52, 100, .05)

【讨论】：

虽然该链接可能会提供有价值的答案，但 SO asks users to post their code here on SO 链接可用作参考，但它们往往会在一段时间后断开，从而使未来的访问者无法访问解决方案。

【参考方案7】：

从Python 3.8 开始，标准库提供NormalDist 对象作为statistics 模块的一部分。

它可用于获取给定 概率密度函数（pdf - 随机样本 X 接近给定值 x 的可能性） em>平均值 (mu) 和标准差 (sigma)：

from statistics import NormalDist

NormalDist(mu=100, sigma=12).pdf(98)
# 0.032786643008494994

还要注意NormalDist 对象还提供累积分布函数（cdf - 随机样本 X 小于或等于 x 的概率):

NormalDist(mu=100, sigma=12).cdf(98)
# 0.43381616738909634

【参考方案8】：

如果您想找到 x mean = 1 的 2 个值之间的区域；标准差 = 2； x在[0.5,2]之间的概率

import scipy.stats
scipy.stats.norm(1, 2).cdf(2) - scipy.stats.norm(1,2).cdf(0.5)

【参考方案9】：

请注意，probability 不同于 probability density pdf()，之前的一些答案提到了这一点。 概率是变量具有特定值的机会，而概率密度是变量接近特定值的机会，即在一定范围内的概率。因此，要获得概率，您需要计算给定区间内概率密度函数的积分。作为一个近似值，您可以简单地将概率密度乘以您感兴趣的区间，这将为您提供实际概率。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

data_start = -10
data_end = 10
data_points = 21
data = np.linspace(data_start, data_end, data_points)

point_of_interest = 5
mu = np.mean(data)
sigma = np.std(data)                                   
interval = (data_end - data_start) / (data_points - 1)
probability = norm.pdf(point_of_interest, loc=mu, scale=sigma) * interval

上面的代码将为您提供变量在 -10 到 10 之间的正态分布中具有 21 个数据点的精确值 5 的概率（意味着间隔为 1）。您可以使用固定的间隔值，具体取决于您想要达到的结果。

【讨论】：

我认为提问者指的是“可能性”而不是真正的“概率”。

【参考方案10】：

我想说：提问者在问“如何计算给定数据点在给定均值和标准差的正态分布中的可能性？”而不是“如何在给定均值和标准差的情况下计算正态分布中的概率？”。

对于“概率”，它必须介于 0 和 1 之间，但对于“可能性”，它必须是非负数（不一定介于 0 和 1 之间）。

您可以使用scipy.stats.multivariate_normal 中的multivariate_normal.pdf(x, mean= mean_vec, cov=cov_matrix) 来计算它。