在 C++ 中转换 Big Integer <-> double

Posted 2023-02-16

【中文标题】在 C++ 中转换 Big Integer <-> double

【英文标题】：Conversion Big Integer <-> double in C++

【发布时间】：2012-09-07 18:42:30

【问题描述】：

为了好玩，我正在用 C++ 编写自己的长算法库，它已经完成了，我什至用该库实现了几个 Cryptogrphic 算法，但仍然缺少一件重要的事情：我想转换双精度数（和浮点数/长双打）到我的号码，反之亦然。我的数字表示为一个可变大小的无符号长整数数组加上一个符号位。

我试图用谷歌找到答案，但问题是人们很少自己实现这些东西，所以我只找到关于如何使用 Java BigInteger 等的东西。

从概念上讲，这相当容易：我取尾数，将其移动由指数指定的位数并设置符号。在另一个方向上，我将其截断以使其适合尾数并根据我的 log2 函数设置指数。

但是我很难弄清楚细节，我可以玩弄一些位模式并将其转换为双精度，但我没有找到一种优雅的方法来实现这一点，或者我可以“计算”它从 2 开始，取幂，乘法等，但这似乎不是很有效。

我希望有一个不使用任何库调用的解决方案，因为我试图避免为我的项目使用库，否则我可以只使用 gmp，此外，我经常在其他几个场合有两种解决方案，一种使用内联高效且更独立于平台的汇编程序，因此任何一个答案对我都有用。

编辑：我使用 uint64_t 作为我的部件，但我希望能够根据机器进行更改，但我愿意使用一些#ifdefs 做一些不同的实现来实现这一点。

【问题讨论】：

避免任何库调用是否包括对标准库（尤其是数学库）的调用？

也许看看这段代码会对你有所帮助：gist.github.com/f29a0a7813df398fc494 请注意，这是针对浮点数的，当然，你仍然需要对其进行调整。

我在其他地方使用了一些这样的标准库调用，例如用于长整数 字符串的转换，因此它不是“禁止的”，但我更喜欢没有库调用的解决方案的解决方案.谢谢你的链接 nightcracker，看起来对我很有用。

【参考方案1】：

我将在这里做出不可移植的假设：即unsigned long long 比double 具有更准确的数字。 （在我所知道的所有现代桌面系统上都是如此。）

首先，将最高有效整数转换为unsigned long long。然后将其转换为双 S。让M 是小于第一步中使用的整数的数量。将S 乘以(1ull << (sizeof(unsigned)*CHAR_BIT*M)。 （如果移位超过 63 位，则必须将它们拆分为单独的移位并进行一些运算）最后，如果原始数字为负数，则将此结果乘以 -1。

这个四舍五入很多，但即使使用这个四舍五入，由于上述假设，不会丢失任何数字，但在转换为双精度数时无论如何都不会丢失。我认为这与 Mark Ransom 所说的过程类似，但我不确定。

为了从双精度整数转换为大整数，首先使用frexp 将尾数分隔为double M，将指数分隔为int E。将M 乘以UNSIGNED_MAX，并将结果存储在unsigned R 中。如果std::numeric_limits<double>::radix() 为2（我不知道它是否适用于x86/x64），您可以轻松地将R 左移E-(sizeof(unsigned)*CHAR_BIT) 位，然后就完成了。否则结果将改为R*(E**(sizeof(unsigned)*CHAR_BIT))（其中** 表示幂）

如果性能是一个问题，您可以为您的 bignum 类添加一个重载，以便乘以 std::constant_integer<unsigned, 10>，它只返回 (LHS<<4)+(LHS<<2)。如果您愿意，您可以类似地优化其他常量。

【讨论】：

谢谢，这似乎是 Bigint -> Float 方向的一个很好的解决方案，甚至可以通过使用一些#ifdefs 轻松实现便携。我不知道 pow 的效率如何，也许可以通过使用我们创建 2 的幂并以某种方式使用浮点指数的知识来改进它。

好电话，删除 pow 以支持位移。快得多。如果位移大于 64 位，我认为双精度值无论如何都不能保持。 （不确定）

哦！我完全没有意识到你也想要 double->bigint，我一想到怎么做就会添加它

好吧，我不知道 x86 double 的基数是否为 2，所以有两种方法。一种简单快速，另一种更难更慢。

对不起，我想我把你和班次搞混了。 2

【参考方案2】：

这篇博文可能对你有所帮助Clarifying and optimizing Integer>>asFloat

否则，您还可以通过这个 SO 问题Converting from unsigned long long to float with round to nearest even 了解算法

【讨论】：

谢谢，他们都为我的实现提供了一些额外的提示。抱歉，我首先忽略了您的帖子。

【参考方案3】：

您没有明确说明，但我假设您的库仅是整数，而无符号长整数是 32 位和二进制（不是十进制）。 到 double的转换很简单，所以我会先解决这个问题。

从当前棋子的乘数开始；如果数字为正，则为 1.0，如果为负，则为 -1.0。对于 bignum 中的每个无符号长整数，乘以当前乘数并将其添加到结果中，然后将乘数乘以 pow(2.0, 32) (4294967296.0) 对于 32 位或 pow(2.0, 64) (18446744073709551616.0) 对于 64 位。

您可以通过仅使用两个最重要的值来优化此过程。即使整数类型中的位数大于双精度，也需要使用 2，因为最高有效值中 used 的位数可能仅为 1。您可以生成乘以 2 的幂到跳过的位数，例如pow(2.0, most_significant_count*sizeof(bit_array[0])*8)。您不能使用另一个答案中给出的位移，因为它会在第一个值之后溢出。

要从双精度转换，您可以使用frexp 函数将指数和尾数分开。尾数将作为 0.5 和 1.0 之间的浮点值出现，因此您需要将其乘以 pow(2.0, 32) 或 pow(2.0, 64) 以将其转换为整数，然后将指数调整为 -32 或-64 补偿。

【讨论】：

我在我的机器上使用了 uint64_t，但我想保留使用其他东西的选项。您的解决方案的问题是，如果 n 是数字的大小，则需要 O(n) 时间，我认为它应该在恒定时间内可行。

@user1655480，我认为 Mooing Duck 的想法是正确的 - 您应该只需要最重要的 1 或 2 个值来饱和双精度。

【参考方案4】：

要从大整数变为双精度，只需按照解析数字的方式进行即可。例如，您将数字“531”解析为“1 + (3 * 10) + (5 * 100)”。使用双精度计算每个部分，从最不重要的部分开始。

要从双精度数到大整数，以相同的方式执行，但从最重要的部分开始相反。所以，要转换 531，首先你会看到它大于 100 但小于 1000。你通过除以 100 找到第一个数字。然后减去得到 31 的余数。然后通过除以 10 找到下一个数字。并且以此类推。

当然，您不会使用十位（除非您将大整数存储为数字）。究竟如何将其拆分取决于大整数类的构造方式。例如，如果它使用 64 位单位，那么您将使用 2^64 的幂而不是 10 的幂。

【讨论】：

从大整数到双精度的转换有效，但对于大数来说效率低下。如果数字的大小为 n，则需要 O(n) 次操作，但我认为转换应该在恒定时间内是可行的。对于另一个方向，我真的不明白这对浮动是如何工作的。

不是 O(n)，而是 O(log n)。 （1,000 有 4 位您必须处理。10,000 有 5 位您必须处理。）而且很容易证明，不存在比 O(log n) 更快的操作。大整数包含 O(log n) 个字节的数据，每个这样的字节都必须至少以某种方式处理。

如果我像我一样将 n 定义为输入的大小，则为 O(n)。不，你的证明不起作用。仅仅提到必须处理每个字节对于证明是不够的，对于这些证明至关重要的是，您向我展示了如果算法不查看第 i 个字节，则对于第 i 个字节的某些值是不正确的，即结果取决于每个字节。这不是这里的情况。由于 double 的精度有限，只查看几个最重要的字节就足够了，所以恒定时间是可能的，您不必查看其他字节。

我的算法没有什么能阻止你在双->整数情况下提前停止。至于 integer->double 的情况，你必须弄清楚从哪里开始，这有点复杂。 （这是否允许不是 O(log n) 的算法取决于您的大整数实现的细节。）

好吧，没错，我应该更清楚一点，我对 O(n) 运算的担忧只适用于第一个算法。但是按照你描述的方式，你从最不重要的部分开始，这就是为什么我认为你需要 O(n) 操作。