除以 9 而不使用除法或乘法运算符

Posted 2023-02-16

【中文标题】除以 9 而不使用除法或乘法运算符

【英文标题】：Divide by 9 without using division or multiplication operator

【发布时间】：2015-05-31 18:52:40

【问题描述】：

这个问题我已经尝试解决了，但没有任何办法。任何指针将不胜感激。

正则减法做除法不是这里的意图，巧妙地使用移位运算符来完成它的意图。

【问题讨论】：

最简单的除法方法是重复减法。

Martin James：不，不是作业，而是geeksforgeeks.org/makemytrip-interview-questions-set-6这个问题。

我想知道为什么人们急于投反对票，以便为自己争取更多的赞成票。

@newbie_old 不是我，但投反对票会让投反对票的人付出代价。它不会给他们加分。

@newbie_old 我已经发布了一个迟来的答案。

【参考方案1】：

虽然答案已被接受，但我还是发布我的答案。

更新。这是通过乘以一个循环二进制分数来实现的。十进制 1/9 = 0.1111111 重复出现。在二进制中，即 1/1001 = 0.000111000111000111 重复出现。

请注意，二进制乘法器以 6 位为一组，十进制 7 重复出现。所以我在这里要做的是将被除数乘以 7，将其右移 6 位，然后将其添加到运行商中。但是为了保持重要性，我在加法之后进行移位，并在循环结束后将商q 移位以正确对齐。

对于 32 位 int（6 位 * 6 次移位 = 36 位），计算循环最多有 6 次迭代。

#include<stdio.h>

int main(void)

    unsigned x, y, q, d;
    int i, err = 0;

    for (x=1; x<100; x++)              // candidates
        q = 0;                          // quotient
        y = (x << 3) - x;               // y = x * 7

        while(y)                       // until nothing significant
            q += y;                     // add (effectively) binary 0.000111
            y >>= 6;                    // realign
        
        q >>= 6;                        // align

        d  = x / 9;                     // the true answer
        if (d != q) 
            printf ("%d / 9 = %d (%d)\n", x, q, d);     // print any errors
            err++;
        
    

    printf ("Errors: %d\n", err);
    return 0;

不幸的是，由于与乘以十进制 27 * 0.111111 = 2.999999 而不是 3 相同的原因，这对于每个 9 的倍数的候选者来说都失败了，因为舍入错误。所以我现在通过保留 4 ls 来使答案复杂化。用于舍入的商的位。结果是它适用于所有int 值，由两个顶部半字节限制，一个用于* 7，一个用于* 16 意义。

#include<stdio.h>

int main(void)

    unsigned x, y, q, d;
    int i, err = 0;

    for (x=1; x<0x00FFFFFF; x++) 
        q = 8;                          // quotient with (effectively) 0.5 for rounding
        y = (x << 3) - x;               // y = x * 7
        y <<= 4;                        // y *= 16 for rounding

        while(y)                       // until nothing significant
            q += y;                     // add (effectively) binary 0.000111
            y >>= 6;                    // realign
        
        q >>= (4 + 6);                  // the 4 bits significance + recurrence

        d  = x / 9;                     // the true answer
        if (d != q) 
            printf ("%d / 9 = %d (%d)\n", x, q, d);     // print any errors
            err++;
        
    

    printf ("Errors: %d\n", err);
    return 0;

【讨论】：

在二进制中，即 1/1001 = 0.000111000111000111 重复出现。没有得到这个。哦，明白了。基本上 1/9 是 1/1001。

. 之后的第一个二进制表示二分之一，下一个四分之一，等等。所以这是 1/16 + 1/32 + 1/64 + 等等。前 6 位 (点之后）等于 0.109375 十进制，所以你可以看到它正在收敛到 0.111111 循环小数。

很好的逻辑。我认为 i>= 6; // 重新对齐 z += y; // 添加（有效）二进制 0.000111 我也知道为什么要添加 "z >>= 6; // align" 吗？

@newbie_old 谢谢。两点 1) 而不是for(i ...) 循环，使用while(y) 会更干净，因为当y 已转移到0 时，继续没有意义。 2）循环后z >>= 6;的原因是因为循环内的两条指令应该是相反的：在添加到z之前移位y。我这样做是为了保持重要性。

你能解释一下“保持意义”是什么意思吗？

【参考方案2】：

这是一个深受Hacker's Delight 启发的解决方案，它真正只使用位移位：

def divu9(n):
    q = n - (n >> 3)
    q = q + (q >> 6)
    q = q + (q>>12) + (q>>24); q = q >> 3
    r = n - (((q << 2) << 1) + q)
    return q + ((r + 7) >> 4)
    #return q + (r > 8)

【讨论】：

检查我提供的链接。该章节可免费下载，值得一读。

【参考方案3】：

看到这个答案：https://***.com/a/11694778/4907651

除了除数是 3 之外，您正在寻找的正是您想要的。

编辑：解释

我将用简单的+ 替换add 函数，因为您正在寻找不使用* 或/ 的解决方案。

在这个解释中，我们假设我们除以 3。

另外，我假设您知道如何将十进制转换为二进制，反之亦然。

int divideby3 (int num) 
    int sum = 0;
    while (num > 3) 
        sum += (num >> 2);
        num = (num >> 2) + (num & 3);
    
    if (num == 3)
        sum += 1;
    return sum; 

这种方法使用位运算符：

按位与：&。 按位左移：<<。将二进制值左移。 按位右移：>>。将二进制值右移。 按位异或：^

第一个条件(num > 3)是这样，因为除数是3。在你的情况下，除数是9，所以当你使用它时，条件必须是(num > 9)。

假设我们要除的数是 6。

在二进制中，6 表示为000110。

现在，我们进入while (num > 3) 循环。第一条语句将sum（初始化为0）添加到num >> 2。

num >> 2 做了什么：

二进制初始数字：00000000 00000110

按位移位后：00000000 00000001 i.e. 1 in decimal

添加num >> 2后的sum是1。

由于我们知道 num >> 2 等于 1，我们将其添加到 num & 3。

二进制初始编号：00000000 00000110

3 二进制：00000000 00000011

对于表达式a & b的结果中的每个位位置，如果两个操作数都包含1，则该位为1，否则为0

num & 3的结果：00000000 00000010 i.e. 2 in decimal

num = (num >> 2) + (num & 3) 之后的num 等于 1 + 2 = 3

现在，由于 num 等于 3，我们进入 if (num==3) 循环。

然后我们将 sum 加 1，然后返回值。 sum 的这个值就是商。

如预期的那样，返回值为 2。

希望这不是一个可怕的解释。

【讨论】：

然后重复 --> 除以 9。

我没看懂解释。我已经读了100遍了，如果你能解释一下，我可以把它作为正确答案。

@newbie_old 这里是一个解释。如果我解释的不是很清楚，请告诉我。我会详细说明。

【参考方案4】：

创建一个循环，每一步你都应该减去N-9 .. 然后(N-9)-9 .. 直到N<9 OR N=0 并且每一个减法你都要计算步骤例如：36/9 36-9=27 cmpt (1) 27-9=18 cmpt(2) 18-9=9 cmpt(3) 9-9=0 cmpt (4)

所以36/9= 4

【参考方案5】：

这个http://en.wikipedia.org/wiki/Ancient_Egyptian_multiplication 算法可以在log(n) 时间内只使用减法和二进制移位来完成。然而，据我所知，最先进的硬件已经在使用这个，甚至是更好的算法。因此，我认为您无能为力（假设性能是您的目标），除非您可以以某种方式完全避免除法或更改用例以便您可以除以 2 的幂，因为这些有一些技巧案例。

【参考方案6】：

如果不允许乘法/除法，则剩下的就是加法/减法。除以数字显示除数包含被除数的次数。您可以使用它作为回报：您可以从原始值中减去该数字多少次？

divisor = 85;
dividend = 9;
remaining = divisor;
result = 0;
while (remaining >= dividend)

    remaining -= dividend;
    result++;

std::cout << divisor << " / " << dividend << " = " << result;

【参考方案7】：

如果需要除正数，可以使用如下函数：

unsigned int divideBy9(unsigned int num) 

    unsigned int result = 0;
    while (num >= 9)
    
        result += 1;
        num -= 9;
    
    return result;

如果是负数，可以使用类似的方法。

希望这会有所帮助！