在 3D 中找到从点到截锥的最短向量

Posted 2023-02-16

【中文标题】在 3D 中找到从点到截锥的最短向量

【英文标题】：Finding the shortest vector from a point to a truncated cone in 3D

【发布时间】：2021-09-07 11:08:07

【问题描述】：

我试图了解计算点和 3D 截锥之间的最短向量的某种实现。最初的想法在this paper中介绍。

因此，如果我们有两个球形物体：物体 A 的半径为 rA，位置 pA 和速度 vA，物体 B 的半径为 rB，位置 pB 和速度 vB，那么我们可以用更简单的方式表示，计算相对位置和相对速度，假设物体 A 是一个点，物体 B 的半径是 rA + rB。

在 2D 中，这看起来像是从图 (a) 到图 (b) 的转换，其中 tau 只是一个标量因子： 一个

3D 图形很相似，但不是圆形，而是球体。

现在，如果相对速度矢量位于灰色的截锥中，我们应该找到相对速度V变化最小的矢量u来移动它到圆锥的圆周如下图所示（注意：P为相对位置）：

这有两种情况：

如果相对速度低于截止圆的中心（低于蓝色虚线）。在这种情况下，u 将位于截止圆（较小的圆）上。

第二种情况，我不明白是怎么计算出来的，是相对速度在小圆（球体）的中心以上时，在这种情况下u会投影在圆锥的切线。 P 和 V 向量表示的平面与大球体的交点是一个u 所在的圆。

    const Vector3 relativePosition = other->position_ - position_;
    const Vector3 relativeVelocity = velocity_ - other->velocity_;
    const float distSq = absSq(relativePosition);
    const float combinedRadius = radius_ + other->radius_;
    const float combinedRadiusSq = sqr(combinedRadius);

    Plane plane;
    Vector3 u;

    if (distSq > combinedRadiusSq) 
        /* No collision. */
        const Vector3 w = relativeVelocity - tau * relativePosition;
        /* Vector from cutoff center to relative velocity. */
        const float wLengthSq = absSq(w);

        const float dotProduct = w * relativePosition;

        if (dotProduct < 0.0f && sqr(dotProduct) > combinedRadiusSq * wLengthSq) 
            /* Project on cut-off circle. */
            const float wLength = std::sqrt(wLengthSq);
            const Vector3 unitW = w / wLength;

            plane.normal = unitW;
            u = (combinedRadius * tau - wLength) * unitW;
        
        else 
            **/* Project on cone. I Don't understand this! */


            const float a = distSq;
            const float b = relativePosition * relativeVelocity;
            const float c = absSq(relativeVelocity) - absSq(cross(relativePosition, relativeVelocity)) / (distSq - combinedRadiusSq);
            const float t = (b + std::sqrt(sqr(b) - a * c)) / a;
            const Vector3 ww = relativeVelocity - t * relativePosition;
            const float wwLength = abs(ww);
            const Vector3 unitWW = ww / wwLength;
            plane.normal = unitWW;
            u = (combinedRadius * t - wwLength) * unitWW;**
        
    

我知道最终我们需要找到 t（如代码中所示）来缩放 P。但是，我不明白这里如何使用叉积以及我们试图求解的二次方程代表什么。

这个功能可以在here找到。

【问题讨论】：

点积通常在 3D 中用于测试对齐。我相信1 = colinear、0 = perpendicular 和-1 is colinear 在另一个方向。叉积会在 90 度角处找到反射光线的法线。

【参考方案1】：

…虽然我不明白collision avoidance模型是如何工作的，但似乎可以通过考虑围绕轴的一些角度来获得相关方程。

顺便说一句，它看起来像一个纯数学问题，不适合 SO。如果您想问这种问题，Mathematics Stack Exchange 可能会更好。

附录：另一种方法

为了让问题/答案更加醒目，我想考虑另一种编码方法的可能性。由于我们在实际程序中可以毫不犹豫地使用很多数学函数（例如asin()、sqrt()），因此也可以利用数学函数和vector algebra来计算没有quadratic equation的交叉点，如下所示。

/* Project on cone. */
const float sin_phi = combinedRadius / std::sqrt(distSq);
const float cos_phi = std::cos(std::asin(sin_phi));

Vector3 E_axial = normalize(relativePosition);
Vector3 E_inplane = normalize(cross(cross(relativePosition, relativeVelocity), E_axial));

Vector3 E_dir = E_axial * cos_phi + E_inplane * sin_phi;

// Based on math: (s * E_dir - relativeVelocity) * E_dir = 0
const float s = relativeVelocity * E_dir;

u = s * E_dir - relativeVelocity;
plane.normal = -normalize(u);

【讨论】：

感谢您的回答。您能否详细说明检查 w 是否应该投影在圆锥或截止圆上的 if 语句？我的意思是： if (dotProduct combinedRadiusSq * wLengthSq) 我理解 dotProduct 部分。但是，我不明白第二个条件背后的几何形状。

截断边界如图中虚线所示。考虑条件w 点在截止锥之外。 dotProduct = sqrt(wLengthSq) * |P| * cos(psi) 和 |P| * cos(pi/2 - phi) = combinedRadius 然后 cos(psi)^2 > cos(pi/2 - phi)^2