蓝桥杯基础题2017年省赛—九宫幻方

Posted 2023-02-10

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一、题目背景

本题为2020年省赛程序设计题

• C/C++ C 组第8题

二、题目描述

1.问题描述

小明最近在教邻居家的小朋友小学奥数，而最近正好讲述到了三阶幻方这个部分，三阶幻方指的是将1~9不重复的填入一个3 x 3的矩阵当中，使得每一行、每一列和每一条对角线的和都是相同的。 三阶幻方又被称作九宫格，在小学奥数里有一句非常有名的口诀：“二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居其中”，通过这样的一句口诀就能够非常完美的构造出一个九宫格来。

4 9 2
3 5 7
8 1 6

有意思的是，所有的三阶幻方，都可以通过这样一个九宫格进行若干镜像和旋转操作之后得到。现在小明准备将一个三阶幻方（不一定是上图中的那个）中的一些数抹掉，交给邻居家的小朋友来进行还原，并且希望她能够判断出究竟是不是只有一个解。而你，也被小明交付了同样的任务，但是不同的是，你需要写一个程序。

2.输入格式　　

输入仅包含单组测试数据。 每组测试数据为一个3 x 3的矩阵，其中为0的部分表示被小明抹去的部分。 对于100%的数据，满足给出的矩阵至少能还原出一组可行的三阶幻方。

3.输出格式　　

如果仅能还原出一组可行的三阶幻方，则将其输出，否则输出“Too Many”（不包含引号）。

4.一个例子

下面是一个样例 输入：

0 7 2
0 5 0
0 3 0

输出：

6 7 2
1 5 9
8 3 4

三、题目分析

1. 执果索因

通过使用科技的力量或者自己独立思考，提前找出三阶幻方的所有可能解。 再将自己已经知道的所有解提前放入程序里面，与输入的数进行比对。 如果只能比对出一组可行的幻方，则将其输出。 科技力量直通车→科技创造美好生活

2. 全排列

上面的方法是将已知答案放入程序中，但是更多的情况，我们是不知道答案的。

对此，我们只能将所有可能都弄出来。

这里就需要利用数学中的排列知识了。

而C++ 的algorithm中提供了内置的全排列函数next_permutation

下面介绍一下next_permutation函数

使用方法：next_permutation(数组头地址，数组尾地址);

若下一个排列存在，则返回真，如果不存在则返回假

举个例子：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()

	int b[3] =  1,2,3 ;
	do
	
		for (int i = 0; i < 3; ++i)
			cout << b[i] ;
		cout << endl;
	 while (next_permutation(b, b + 3));
	return 0;

利用循环，和next_permutation的返回值，巧妙的得到全排列结果。 然后利用九宫幻方的性质，检查是不是九宫幻方。

九宫幻方：每一行、每一列、每一对角线的和都相同。

3. 深度优先搜索（DFS）

四、代码汇总

1. 执果索因

#include <iostream>
#include<string>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()

	int a[3][3], f = 0, k = 0, i, j;
	//初始化
	string b = "000000000";
	//所有可能的答案
	string vis[8] =  "816357492","618753294","492357816","294753618","672159834","834159672","276951438","438951276" ;
	int v[8] =  0 ;
	for (int i = 0; i < 3; i++)
	
		for (int j = 0; j < 3; j++)
		
			cin >> a[i][j];
			//将int转为string
			b[k++] = a[i][j] + 0;
		
	
	for (i = 0; i < 8; i++)
	
		for (j = 0; j < 9; j++)
		
			if (b[j] != 0)
			
				//比较下一个字符串
				if (vis[i][j] != b[j])
					break;
			
		
		if (j == 9)
		
			f++;
			v[i] = 1;
		
		if (f > 1)
		
			cout << "Too Many" << endl;
			break;
		
	
	k = 0;
	if (f == 1)
	
		for (i = 0; i < 9; i++)
			if (v[i] == 1)break;
		while (k < 9)
		
			cout << vis[i][k++] << " ";
			if (k % 3 == 0)cout << endl;
		
	
	return 0;

2. 全排列

#include <iostream>
#include<string>
#include <algorithm>
using namespace std;
int arr[9];
int str[9] =  1,2,3,4,5,6,7,8,9 ;

bool flag = true;
int ans = 0;
//检查是不是九宫幻方
bool check(int a[])

	int a1 = a[0] + a[1] + a[2];
	int a2 = a[3] + a[4] + a[5];
	int a3 = a[6] + a[7] + a[8];
	int a4 = a[0] + a[3] + a[6];
	int a5 = a[1] + a[4] + a[7];
	int a6 = a[2] + a[5] + a[8];
	int a7 = a[2] + a[4] + a[6];
	int a8 = a[0] + a[4] + a[8];
	if (a1 == a2 && a2 == a3 && a3 == a4 && a4 == a5 && a5 == a6 && a6 == a7 && a7 == a8)
		return true;
	return false;


int main() 

	for (int i = 0; i < 9; i++)
		cin >> arr[i];
	do 
		if (check(str))
		
			flag = true;
			for (int i = 0; i < 9; i++)
			
				if (arr[i] != 0 && arr[i] != str[i])
				
					flag = false;
				
			

			if (flag)
			
				for (int i = 0; i < 9; i++)
					arr[i] = str[i];
				ans++;
			
		
	 while (next_permutation(str, str + 9));

	if (ans == 1)
	
		int k = 0;
		for (int i = 0; i < 3; i++)
		
			for (int j = 0; j < 3; j++)
			
				cout << arr[k] << " ";
				k++;
			
			cout << endl;
		
	
	else if (ans > 1)
		cout << "Too Many" << endl;
	return 0;

3. DFS

#include <iostream>
#include<string>
#include <algorithm>
int a[5][5];
int b[5][5];
int vis[15];
int ans = 0;
using namespace std;
bool check()

	int sum1, sum2;
	int x = a[1][1] + a[1][2] + a[1][3];
	for (int i = 1; i <= 3; i++)
	
		sum1 = 0, sum2 = 0;
		for (int j = 1; j <= 3; j++)
		
			sum1 += a[i][j];
			sum2 += a[j][i];
		
		if (sum1 != x || sum2 != x)
			return 0;
	
	sum1 = a[1][1] + a[2][2] + a[3][3];
	sum2 = a[1][3] + a[2][2] + a[3][1];
	if (sum1 != x || sum2 != x)
		return false;
	return true;

void dfs(int num)

	if (num == 9)
	
		if (check())
		
			for (int i = 1; i <= 3; i++)
				for (int j = 1; j <= 3; j++)
					b[i][j] = a[i][j];
			ans++;
		
		return;         
	
	for (int i = 1; i <= 3; i++)
		for (int j = 1; j <= 3; j++)
		
			if (a[i][j] == 0)
			
				for (int k = 1; k <= 9; k++)
				
					if (!vis[k])
					
						vis[k] = 1;
						a[i][j] = k;
						dfs(num + 1);
						vis[k] = 0;
						a[i][j] = 0;
					
				
				return;
			
		

int main()

	int num = 0;
	for (int i = 1; i <= 3; i++)
		for (int j = 1; j <= 3; j++)
		
			cin >> a[i][j];
			vis[a[i][j]] = 1;
			if (a[i][j] != 0)
				num++;
		
	dfs(num);
	if (ans == 1)
		for (int i = 1; i <= 3; i++)
		
			for (int j = 1; j <= 3; j++)
				cout << b[i][j] << " ";
			cout << endl;
		
	else
		cout << "Too Many" << endl;
	return 0;

五、总结

1. 全排列

排列、全排列的计算。

全排列函数：next_permutation 的用法。

2. 九宫幻方的判断

九宫幻方：每一行、每一列、每一对角线的和都相同。