紧耦合后端非线性优化-局部优化（Marginalization）

Posted 2023-02-05

0.前言

局部优化作为VSLAM当中常用的策略，其作用相当于激光SLAM中的局部地图的ICP or NDT优化（​​scan2localmap​​​）。如下图所示，在VIO当中，随着时间的推移，路标特征点(landmark)和相机的位姿pose越来越多，BA的计算量随着变量的增加而增加，即使BA的H矩阵是稀疏的，也吃不消。因此，我们要限制优化变量的多少，不能只一味的增加待优化的变量到BA里，而应该去掉一些变量。那么如何丢变量就成了一个很重要的问题！在vins mono和vins fusion中都存在​​void Estimator::optimization()​​函数用来用滑窗执行Ceres优化，边缘化，更新滑窗内图像帧的状态（位姿、速度、偏置、外参、逆深度、相机与IMU时差），但是这个之前在​​VINS-FUSION 前端后端代码全详解​​忽略了这一重要的部分。所以在写完回环后发现，关注了全局优化的同时，局部优化却没有关注。为此写着一篇文章来分析vins中的局部优化部分

1. VIO中的状态向量与代价函数

视觉惯性BA：这三项依次为边缘化的先验信息、IMU的测量残差、视觉的重投影误差

BA优化模型分为三部分：

1、视觉误差函数部分（滑动窗口中特征点在相机下视觉重投影残差）

2、IMU残差部分（滑动窗口中相邻帧间的IMU产生）

3、Marg边缘化残差部分（滑动窗口中去掉位姿和特征点约束）代码中使用Google开源的Ceres solver解决。

2. 视觉约束

这部分要拟合的目标可以通过重投影误差约束，求解的是对同一个路标点的观测值和估计值之间的误差，注意是在归一化平面上表示。

当某路标点在第i帧观测到并进行初始化操作得到路标点逆深度，当其在第j帧也被观测到时，估计其在第j帧中的坐标为：

此时的视觉残差为：（左侧为根据i帧反推估计的位置，右侧为观测值）

逆深度作为参数原因：

1）观测到的特征点深度可能非常大，难以进行优化；

2）可以减少实际优化的参数变量；

3）逆深度更加服从高斯分布。这里特征点的逆深度在第i帧初始化操作中得到。

我们可以看到在vins fusion中

//左相机在i时刻和j时刻分别观测到路标点
    ProjectionTwoFrameOneCamFactor *f_td = new ProjectionTwoFrameOneCamFactor(pts_i, pts_j, it_per_id.feature_per_frame[0].velocity, it_per_frame.velocity,
                                                     it_per_id.feature_per_frame[0].cur_td, it_per_frame.cur_td);
    problem.AddResidualBlock(f_td, loss_function, para_Pose[imu_i], para_Pose[imu_j], para_Ex_Pose[0], para_Feature[feature_index], para_Td[0]);


if(STEREO && it_per_frame.is_stereo)
                
    Vector3d pts_j_right = it_per_frame.pointRight;
    if(imu_i != imu_j)
       //左相机在i时刻、右相机在j时刻分别观测到路标点
        ProjectionTwoFrameTwoCamFactor *f = new ProjectionTwoFrameTwoCamFactor(pts_i, pts_j_right, it_per_id.feature_per_frame[0].velocity, it_per_frame.velocityRight,
                                                     it_per_id.feature_per_frame[0].cur_td, it_per_frame.cur_td);
        problem.AddResidualBlock(f, loss_function, para_Pose[imu_i], para_Pose[imu_j], para_Ex_Pose[0], para_Ex_Pose[1], para_Feature[feature_index], para_Td[0]);
    
    else
       //左相机和右相机在i时刻分别观测到路标点
        ProjectionOneFrameTwoCamFactor *f = new ProjectionOneFrameTwoCamFactor(pts_i, pts_j_right, it_per_id.feature_per_frame[0].velocity, it_per_frame.velocityRight,
                                                     it_per_id.feature_per_frame[0].cur_td, it_per_frame.cur_td);
        problem.AddResidualBlock(f, loss_function, para_Ex_Pose[0], para_Ex_Pose[1], para_Feature[feature_index], para_Td[0]);
    
   

目前我们将以​​ProjectionTwoFrameOneCamFactor​​为例子介绍特征点逆深度求解

/**
 * 迭代优化每一步调用，计算变量x在当前状态下的残差，以及残差对变量的Jacobian，用于计算delta_x，更新变量x
 * 优化重投影误差
 * 1、优化变量：前一帧位姿，当前帧位姿，相机与IMU外参，特征点逆深度，相机与IMU时差。对匹配点构建重投影误差
 * 2、计算残差对优化变量的Jacobian
 * @param parameters    优化变量的值
 * @param residuals     output 残差
 * @param jacobians     output 残差对优化变量的Jacobian
*/
bool ProjectionTwoFrameOneCamFactor::Evaluate(double const *const *parameters, double *residuals, double **jacobians) const

    // 优化变量：前一帧位姿7，当前位姿7，相机与IMU外参7，特征点逆深度1，相机与IMU时差1
    TicToc tic_toc;
    Eigen::Vector3d Pi(parameters[0][0], parameters[0][1], parameters[0][2]);
    Eigen::Quaterniond Qi(parameters[0][6], parameters[0][3], parameters[0][4], parameters[0][5]);

    Eigen::Vector3d Pj(parameters[1][0], parameters[1][1], parameters[1][2]);
    Eigen::Quaterniond Qj(parameters[1][6], parameters[1][3], parameters[1][4], parameters[1][5]);

    Eigen::Vector3d tic(parameters[2][0], parameters[2][1], parameters[2][2]);
    Eigen::Quaterniond qic(parameters[2][6], parameters[2][3], parameters[2][4], parameters[2][5]);

    double inv_dep_i = parameters[3][0];

    double td = parameters[4][0];

    Eigen::Vector3d pts_i_td, pts_j_td;
    // 匹配点ij, 归一化相机点时差校正，对应到采集时刻的位置，因为IMU数据是对应图像采集时刻的
    pts_i_td = pts_i - (td - td_i) * velocity_i;
    pts_j_td = pts_j - (td - td_j) * velocity_j;
    // 转到相机系
    Eigen::Vector3d pts_camera_i = pts_i_td / inv_dep_i;
    // 转到IMU系
    Eigen::Vector3d pts_imu_i = qic * pts_camera_i + tic;
    // 转到世界系
    Eigen::Vector3d pts_w = Qi * pts_imu_i + Pi;
    // 转到j的IMU系
    Eigen::Vector3d pts_imu_j = Qj.inverse() * (pts_w - Pj);
    // 转到j的相机系
    Eigen::Vector3d pts_camera_j = qic.inverse() * (pts_imu_j - tic);
    Eigen::Map<Eigen::Vector2d> residual(residuals);

#ifdef UNIT_SPHERE_ERROR 
    residual =  tangent_base * (pts_camera_j.normalized() - pts_j_td.normalized());
#else
    // 计算归一化相机平面上的两点误差
    double dep_j = pts_camera_j.z();
    residual = (pts_camera_j / dep_j).head<2>() - pts_j_td.head<2>();
#endif

    residual = sqrt_info * residual;

    if (jacobians)
    
        Eigen::Matrix3d Ri = Qi.toRotationMatrix();
        Eigen::Matrix3d Rj = Qj.toRotationMatrix();
        Eigen::Matrix3d ric = qic.toRotationMatrix();
        Eigen::Matrix<double, 2, 3> reduce(2, 3);
#ifdef UNIT_SPHERE_ERROR
        double norm = pts_camera_j.norm();
        Eigen::Matrix3d norm_jaco;
        double x1, x2, x3;
        x1 = pts_camera_j(0);
        x2 = pts_camera_j(1);
        x3 = pts_camera_j(2);
        norm_jaco << 1.0 / norm - x1 * x1 / pow(norm, 3), - x1 * x2 / pow(norm, 3),            - x1 * x3 / pow(norm, 3),
                     - x1 * x2 / pow(norm, 3),            1.0 / norm - x2 * x2 / pow(norm, 3), - x2 * x3 / pow(norm, 3),
                     - x1 * x3 / pow(norm, 3),            - x2 * x3 / pow(norm, 3),            1.0 / norm - x3 * x3 / pow(norm, 3);
        reduce = tangent_base * norm_jaco;
#else
        reduce << 1. / dep_j, 0, -pts_camera_j(0) / (dep_j * dep_j),
            0, 1. / dep_j, -pts_camera_j(1) / (dep_j * dep_j);
#endif
        reduce = sqrt_info * reduce;

        // 下面是计算残差对优化变量的Jacobian
        if (jacobians[0])
        
            Eigen::Map<Eigen::Matrix<double, 2, 7, Eigen::RowMajor>> jacobian_pose_i(jacobians[0]);

            Eigen::Matrix<double, 3, 6> jaco_i;
            jaco_i.leftCols<3>() = ric.transpose() * Rj.transpose();
            jaco_i.rightCols<3>() = ric.transpose() * Rj.transpose() * Ri * -Utility::skewSymmetric(pts_imu_i);

            jacobian_pose_i.leftCols<6>() = reduce * jaco_i;
            jacobian_pose_i.rightCols<1>().setZero();
        

        if (jacobians[1])
        
            Eigen::Map<Eigen::Matrix<double, 2, 7, Eigen::RowMajor>> jacobian_pose_j(jacobians[1]);

            Eigen::Matrix<double, 3, 6> jaco_j;
            jaco_j.leftCols<3>() = ric.transpose() * -Rj.transpose();
            jaco_j.rightCols<3>() = ric.transpose() * Utility::skewSymmetric(pts_imu_j);

            jacobian_pose_j.leftCols<6>() = reduce * jaco_j;
            jacobian_pose_j.rightCols<1>().setZero();
        
        if (jacobians[2])
        
            Eigen::Map<Eigen::Matrix<double, 2, 7, Eigen::RowMajor>> jacobian_ex_pose(jacobians[2]);
            Eigen::Matrix<double, 3, 6> jaco_ex;
            jaco_ex.leftCols<3>() = ric.transpose() * (Rj.transpose() * Ri - Eigen::Matrix3d::Identity());
            Eigen::Matrix3d tmp_r = ric.transpose() * Rj.transpose() * Ri * ric;
            jaco_ex.rightCols<3>() = -tmp_r * Utility::skewSymmetric(pts_camera_i) + Utility::skewSymmetric(tmp_r * pts_camera_i) +
                                     Utility::skewSymmetric(ric.transpose() * (Rj.transpose() * (Ri * tic + Pi - Pj) - tic));
            jacobian_ex_pose.leftCols<6>() = reduce * jaco_ex;
            jacobian_ex_pose.rightCols<1>().setZero();
        
        if (jacobians[3])
        
            Eigen::Map<Eigen::Vector2d> jacobian_feature(jacobians[3]);
            jacobian_feature = reduce * ric.transpose() * Rj.transpose() * Ri * ric * pts_i_td * -1.0 / (inv_dep_i * inv_dep_i);
        
        if (jacobians[4])
        
            Eigen::Map<Eigen::Vector2d> jacobian_td(jacobians[4]);
            jacobian_td = reduce * ric.transpose() * Rj.transpose() * Ri * ric * velocity_i / inv_dep_i * -1.0  +
                          sqrt_info * velocity_j.head(2);
        
    
    sum_t += tic_toc.toc();

    return true;