C++ 哈希表查询_进入哈希函数结界的世界

Posted 2023-02-04

1. 前言

哈希表或称为散列表，是一种常见的、使用频率非常高的数据存储方案。

哈希表属于抽象数据结构，需要开发者按哈希表数据结构的存储要求进行 API 定制，对于大部分高级语言而言，都会提供已经实现好的、可直接使用的 API，如 JAVA 中有 MAP 集合、C++ 中的 MAP 容器，Python 中的字典……

使用者可以使用 API 中的方法完成对哈希表的增、删、改、查……一系列操作。

如何学习哈希表？

可以从 2 个角度开始：

• **使用者角度：**只需要知道哈希表是基于键、值对存储解决方案，另需要熟悉不同计算机语言提供的基于哈希表数据结构的 API实现，学会使用 API。
• 开发者的角度：知道哈希表底层实现原理，以及实现过程中需要解决的各种问题。本文将站在开发者的角度，带着大家一起探究哈希的世界。

2. 哈希表

什么是哈希表？

哈希表是基于键、值对存储的数据结构，底层一般采用的是数组。众所知之，数组的查询速度非常快，时间复杂度是常量级别 O（1）。

数组的内存存储结构是连续区域，只要给定数据在数组中的位置，就能直接查询到数据。理论上是这么回事，但在实际操作过程，查询数据的时间复杂度并不一定总是常量级别。

如存储下面的学生信息，学生信息包括学生的姓名和学号。在存储学生数据时，如果把学号为 0 的学生存储在列表 0 位置，学号为 1 的学生存储在列表 1 位置……

因学生的学号和数组的索引号相映射，一旦知道了学生的学号也就知道了学生数据的存储位置，此时查询时间复杂度为 O(1)。

但是，不是存储任何数据时，都可以找到与位置相关联的信息。比如存储英文单词，不可能为每一个英文单词编号，即使编号了，编号仅仅只是流水号，没有数据含义的编号对于使用者来讲是不友好的，谁也无法记住哪个英文单词对应哪个编号。

如果使用数组存储英文单词，因没有单词的存储位置。查询时，还得使用诸如线性、二分……之类的查询方法，这时的时间复杂度由具体的查询算法的时间复杂度决定。

同样，如果对上述存储在数组中的学生信息进行了插入、删除……等操作，改变了数据原来的位置后，因破坏了学号与位置关联信息，再查询时也只能使用其它查询算法，不可能达到常量级。

是否存在一种方案，能最大化地优化数据的存储和查询？

通过上述的分析，可以得出一个结论，要提高查询的速度，得想办法把数据与位置进行关联。而哈希表的核心思想便是如此。

2.1 哈希函数

哈希表引入了关键字概念，关键字可以认为是数据的别名。如上表，可以给每一个学生起一个别名，这个就是关键字。

有了关键字后，再把关键字映射成列表中的一个有效位置，映射方法就是哈希表中最重要的概念哈希函数。

哈希函数的功能：提供把关键字映射到列表中的位置算法，是哈希表存储数据的核心所在。如下图，演示数据、哈希函数、哈希表之间的关系，可以说哈希函数是数据进入哈希表的入口。

数据最终会存储在数组中的哪一个位置，完全由哈希算法决定。

当需要查询学生数据时，同样需要调用哈希函数对关键字进行换算，计算出数据在列表中的位置后就能很容易查询到数据。

如果忽视哈希函数的时间复杂度，基于哈希表的数据存储和查询时间复杂度是 O(1)。

如此说来哈希函数算法设计的优劣是影响哈希表性能的关键所在。

2.2 哈希算法

哈希算法决定了数据的最终存储位置，不同的哈希算法设计方案，也关乎哈希表的整体性能，所以，哈希算法就变得的尤为重要。

下文将纵横比较几种常见的 哈希算法的设计方案。

使用哈希表存储数据时，关键字可以是数字类型也可以是非数字类型，其实，关键字可以是任何一种类型。这里先讨论当关键字为非数字类型时设计哈希算法的基本思路。

如前所述，已经为每一个学生提供了一个以姓名的拼音缩写的关键字。

现在如何把关键字映射到数组的一个有效位置？

这里可以简单地把拼音看成英文中的字母，先分别计算每一个字母在字母表中的位置，然后相加，得到的一个数字。

使用上面的哈希思想对每一个学生的关键字进行哈希：

• zjl的哈希值为 26+10+12=48。
• llj的哈希值为 12+12+10=34。
• cl 的哈希值为 3+12=15。
• zxy的哈希值为 26+25+24=75。

前文说过哈希值是表示数据在列表中的存储位置，现在假设一种理想化状态，学生的姓名都是 3 个汉字，意味着关键字也是 3 个字母，采用上面的的哈希算法，最大的哈希值应该是zzz=26+26+26=78，意味着至少应该提供一个长度为 78的哈希表 。

即使现在仅仅只存储 4 名学生，因无法保证学生的关键字不出现zzz，所以列表长度还是需要 78。如下图所示。

采用这种哈希算法会导致列表的空间浪费严重，最直观想法是对哈希值再做约束，如除以 4 再取余数，把哈希值限制在 4 之内，4 个数据对应 4 个哈希值。我们称这种取余数方案为取余数算法。

重新对 4 名学生的关键字进行哈希。

• zjl的哈希值为 26+10+12=48，48 除以 4 取余数，结果是0。
• llj的哈希值为 12+12+10=34，34 除以 4 取余数，结果是2。
• cl 的哈希值为 3+12=15，15 除以 4 取余数，结果是3。
• zzz的哈希值为 26+26+26=78，78 除以 4 取余数，结果是2。

演示图上出现了一个很奇怪的现象，没有看到李连杰的存储信息。

4个存储位置存储 4学生，应该是刚刚好，但是，只存储了 3名学生。且还有 1个位置是空闲的。现在编码验证一下，看是不是人为因素引起的。

#include <iostream>
using namespace std;
/*
*哈希函数
*/
int hashCode(string key) 
	// 设置字母 A 的在字母表中的位置是 1
	int pos = 0;
	for(int i=0; i<key.size(); i++) 
		char myChar= key[i];
		if(myChar>=A && myChar<=Z)
			myChar+=32;
		pos+= myChar-97+1;
	
	return pos % 4;

测试代码：

int main(int argc, char** argv) 
	// 哈希表
	string hashTable[4];
	// 计算关键字的哈希值
	int idx = hashCode("zjl");
	// 根据关键字换算出来的位置存储数据
	hashTable[idx] = "周杰伦";
	idx = hashCode("llj");
	hashTable[idx]  = "李连杰";
	idx = hashCode("cl");
	hashTable[idx]= "成龙";
	idx = hashCode("zzz");
	hashTable[idx] = "张志忠";
	cout<<"输出所有信息"<<endl;
	for(int i=0; i<4; i++) 
		cout<<hashTable[i]<<"\\t";
	
	return 0;

执行代码，输出结果，依然还是没有看到李连杰的信息。

原因何在？

这是因为李连杰和张志忠的哈希值都是 2 ，导致在存储时，后面存储的数据会覆盖前面存储的数据，这就是哈希中的典型问题，哈希冲突问题。

所谓哈希冲突，指不同的关键字在进行哈希算法后得到相同的哈希值，这意味着，不同关键字所对应的数据会存储在同一个位置，这肯定会发生数据丢失，所以需要提供解决冲突的算法。

针对上面的问题，有一种想当然的冲突解决方案，扩展列表的存储长度，如把列表扩展到长度为 8。

int hashCode(string key) 
	// 省略……
	return pos % 8;

int main(int argc, char** argv) 
	// 哈希表
	string hashTable[8];
    // 省略……
	for(int i=0; i<8; i++) 
		cout<<hashTable[i]<<"\\t";
	
	return 0;

貌似解决了冲突问题，其实不然，当试着设置列表的长度为6、7、8、9、10时，只有当长度为 8时没有发生冲突，这还是在要存储的数据是已知情况下的尝试。

如果数据是动态变化的，显然这种扩展长度的方案绝对不是本质解决冲突的方案。即不能解决冲突，且产生大量空间浪费。

如何解决哈希冲突，会在后文详细介绍，这里还是回到哈希算法上。

综上所述，我们对哈希算法的理想要求是：

• 为每一个关键字生成一个唯一的哈希值，保证每一个数据都有只属于自己的存储位置。
• 哈希算法的性能时间复杂度要低。

现实情况是，同时满足这 2 个条件的哈希算法几乎是不可能有的，面对数据量较多时，哈希冲突是常态。所以，只能是尽可能满足。

因冲突的存在，即使为 100 个数据提供 100 个有效存储空间，还是会有空间闲置。这里把实际使用空间和哈希表提供的有效空间相除，得到的结果，称之为哈希表的占有率（载荷因子）。

如上述，当列表长度为 4时， 占有率为 3/4=0.75，当列表长度为 8 时，占有率为 4/8=0.5，一般要求占率控制 在0.6~0.9之间。

2.3 常见哈希算法

前面在介绍什么是哈希算法时，提到了取余数法，除此之外，还有几种常见的哈希算法。

2.3.1 折叠法

**折叠法：**将关键字分割成位数相同的几个部分（最后一部分的位数可以不同）然后取这几部分的叠加和（舍去进位）作为哈希值。

折叠法又分移位叠加和间界叠加。

• 移位叠加：将分割后的每一部分的最低位对齐，然后相加。

• 间界叠加：从一端沿分割线来回折叠，然后对齐相加。

因有相加求和计算，折叠法适合数字类型或能转换成数字类型的关键字。假设现在有很多商品订单信息，为了简化问题，订单只包括订单编号和订单金额。

现在使用用哈希表存储订单数据，且以订单编号为关键字，订单金额为值。

订单编号	订单金额
20201011	400.00
19981112	300.00
20221212	200

移位叠法换算关键字的思路：

第一步： 把订单编号 20201011 按每3位一组分割，分割后的结果：202、010、11。

第二步： 把分割后的数字相加 202+010+11，得到结果：223。再使用取余数法，如果哈希表的长度为 10，则除以 10后的余数为3。

**第三步：**对其它的关键字采用相同的处理方案。

关键字	哈希值
20201011	3
19981112	2
20221212	6

编码实现保存商品订单信息：

#include <iostream>
using namespace std;
/*
*移位叠加哈希算法
*/
int hashCode(int key,int hashTableSize) 
	// 转换成字符串
	string keyS =to_string(key);
	// 保存求和结果
	int s = 0;
	int idx=0;
	while(idx<keyS.size()) 
		// 截取子字符串
		string subStr= keyS.substr(idx,3);
		s+=stoi(subStr);
		idx+=3;
	
	return s % hashTableSize;


//测试
int main(int argc, char** argv) 
	// 商品信息
	double products[3][2] = 20201011, 400.00, 19981112, 300, 20221212, 200;
	// 哈希表长度
	int hash_size = 10;
	// 哈希表
	double hash_table[10] = 0.0;
	// 以哈希表方式进行存储
	for(int i=0; i<3; i++) 
		int  key = hashCode(products[i][0], hash_size);
		hash_table[key] =products[i][1];
	
	cout<<"哈希表中的数据"<<endl;
	for(int i=0; i<10; i++)
		cout<< hash_table[i]<<"\\t";
	cout<<endl;
	// 根据订单号进行查询
	int hash_val = hashCode(19981112, hash_size);
	double val = hash_table[hash_val];
	cout<<"订单号为 "<<19981112<<" 的金额为 "<<val<<endl;
	return 0;

输出结果：

间界叠加法：

间界叠加法，会间隔地把要相加的数字进行反转。

如订单编号 19981112 按3位一组分割，分割后的结果：199、811、12，间界叠加操作求和表达式为 199+118+12=339，再把结果 339 % 10=9。

编码实现间界叠加算法：

#include <iostream>
using namespace std;
/*
*间界叠加哈希算法
*/
int hashCode(int key,int hashTableSize) 
	// 转换成字符串
	string keyS =to_string(key);
	// 保存求和结果
	int s = 0;
	int idx=0;
	int count=0;
	while(idx<keyS.size()) 
		count++;
		//截取子字符串
		string subStr= keyS.substr(idx,3);
		if(count % 2==0 ) 
			string temp;
			//反转
			for(int j=subStr.size()-1; j>=0; j--) 
				temp+=subStr[j];
			
			subStr=temp;
		
		s+=stoi(subStr);
		idx+=3;
	
	return s % hashTableSize;

int main(int argc, char** argv) 
	//省略测试……
	return 0;

输出结果：

2.3.2 平方取中法

平方取中法：先是对关键字求平方，再在结果中取中间位置的数字。

求平方再取中算法，是一种较常见的哈希算法，从数学公式可知，求平方后得到的中间几位数字与关键字的每一位都有关，取中法能让最后计算出来的哈希值更均匀。

因要对关键字求平方，关键字只能是数字或能转换成数字的类型，至于关键字本身的大小范围限制，要根据使用的计算机语言灵活设置。

如下面的图书数据，图书包括图书编号和图书名称。现在需要使用哈希表保存图书信息，以图书编号为关键字，图书名称为值。

图书编号	图书名称
58	python 从入门到精通
67	C++ STL
98	Java 内存模型

使用平方取中法计算关键字的哈希值：

第一步： 对图书编号 58 求平方，结果为 3364。

第二步：取 3364的中间值36，然后再使用取余数方案。如果哈希表的长度为 10，则 36%10=6。

**第三步：**对其它的关键字采用相同的计算方案。

编码实现平方取中算法：

#include <iostream>
using namespace std;
/*
*哈希算法
*平方取中
*/
int hash_code(int key,int hash_table_size) 
	// 求平方
	int res = key*key;
	//  取中间值，这里取中间 2 位（简化问题）
	res =stoi(to_string(res).substr(1,2));
	// 取余数
	return res % hash_table_size;

//测试
int main(int argc, char** argv) 
	int hash_table_size = 10;
	int hash_val=0;
	string hash_table[hash_table_size] ;
	// 图书信息
	string books[3][2] =  "58", "python 从入门到精通", "67", "C++ STL", "98", "Java 内存模型";
	for(int i=0; i<3; i++) 
		hash_val = hash_code( stoi( books[i][0] ), hash_table_size);
		hash_table[hash_val]=books[i][1];
	
	// 显示哈希表中的数据
	cout<<"哈希表中的数据："<<endl;
	for(int i=0; i<10; i++) 
		cout<<hash_table[i]<<"\\t";
	
	cout<<endl;
	// 根据编号进行查询
	hash_val = hash_code(67, hash_table_size);
	string val = hash_table[hash_val];
	cout<<"编号为"<<67<<"的书名为"<<67<<val<<endl;

上述求平方取中间值的算法仅针对于本文提供的图书数据，如果需要算法具有通用性，则需要根据实际情况修改。

2.3.3 直接地址法

直接地址法：提供一个与关键字相关联的线性函数。如针对上述图书数据，可以提供线性函数 f(k)=2*key+10。

key 为图书编号。当关键字不相同时，使用线性函数得到的值也是唯一的，所以，不会产生哈希冲突，但是会要求哈希表的存储长度比实际数据要大。

这种算法在实际应用中并不多见。

实际应用时，具体选择何种哈希算法，完全由开发者定夺，哈希算法的选择没有固定模式可循，虽然上面介绍了几种算法，只是提供一种算法思路。

2.4 哈希冲突

哈希冲突是怎么引起的，前文已经说过。现在聊聊常见的几种哈希冲突解决方案。

2.4.1 线性探测

当发生哈希冲突后，会在冲突位置之后寻找一个可用的空位置。如下图所示，使用取余数哈希算法，保存数据到哈希表中。

解决冲突的流程：

1. 78和26的哈希值都是 0。因为78在26的前面，78先占据哈希表的 0位置。

2. 当存储 26时，只能以 0位置为起始位置，向后寻找空位置，因 1位置没有被其它数据占据，最终保存在哈希表的1位置。

3. 当存储数字 14时，通过哈希算法计算，其哈希值是1，本应该要保存在哈希表中1的位置，因1位置已经被26所占据，只能向后寻找空位置，最终落脚在2位置。

线性探测法让发生哈希冲突的数据保存在其它数据的哈希位置，如果冲突的数据较多，则占据的本应该属于其它数据的哈希位置也较多，这种现象称为哈希聚集。

查询流程：

以查询数据14为例。

1. 计算 14的哈希值，得到值为 1 ，根据哈希值在哈希表中找到对应位置。
2. 查看对应位置是否存在数据，如果不存在，宣告查询失败，如果存在，则需要提供数据比较方法。
3. 因 1位置的数据 26并不等于14。于是，继续向后搜索，并逐一比较。
4. 最终可以得到结论14在哈希表的编号为2的位置。

所以，在查询过程中，除了要提供哈希函数，还需要提供数据比较函数。

删除流程：

以删除数字26为例。

1. 按上述的查询流程找到数字26在哈希表中的位置1。

2. 设置位置1为删除状态，一定要标注此位置曾经保存过数据，而不能设置为空状态。为什么？

编码实现线性探测法：

添加数据：

#include <iostream>
using namespace std;
/*
*线性探测法解决哈希冲突
*/
int hash_code(int key,int hash_table[],int size,int num) 
	// 简单的取余数法计算哈希值
	int hash_val = key % num;
	// 检查此位置是否已经保存其它数据
	if(hash_table[hash_val]!=0) 
	// 则从hash_val 之后寻找空位置
		for(int i=hash_val + 1; i<size + hash_val; i++  ) 
			if (i >= size)
				i = i % size;
			if (hash_table[i]==0) 
				hash_val = i;
				break;
			
		
	
	return hash_val;

基于线性探测的数据查询过程和存储过程大致相同：

int get(int key,int hash_table[],int size,int num) 
	// 取余数法计算哈希值
	int hash_val = key % num;
	//检查此位置是否已经保存数据
	if (hash_table[hash_val]==0)
		//不存在
		hash_val= -1;
	if (hash_table[hash_val] != key) 
		// 则从hash_val 之后寻找
		for (int i=hash_val + 1; i<size + hash_val; i++) 
			if (i >= size)
				i = i % size;
			if (hash_table[i] == key) 
				hash_val = i;
				break;
			
		
	
	return hash_val;

测试存储和查询：

int main(int argc, char** argv) 
//哈希表
	int hash_table[15] = 0;
	int hash_val=-1;
	int src_nums[] = 25, 78, 56, 32, 88, 26, 73, 81, 14;
	for(int i=0; i<sizeof(src_nums)/4; i++) 
		hash_val = hash_code(src_nums[i], hash_table,15,13);
		hash_table[hash_val] = src_nums[i];
	
	cout<<"哈希表中数据"<<endl;
	for(int i=0; i<15; i++)
		cout<<hash_table[i]<<"\\t";
	cout<<endl;
	cout<<"测试查询"<<endl;
	hash_val=get(14,hash_table,15,13);
	if(hash_val!=-1)
		cout<<hash_table[hash_val]<<endl;
	else
		cout<<"无此数据"<<endl;
	return 0;

输出结果：

为了减少数据聚集，可以采用增量线性探测法，所谓增量指当发生哈希冲突后，探测空位置时，使用步长值大于 1的方式跳跃式向前查找。目的是让数据分布均匀，减小数据聚集。

除了采用增量探测之外，还可以使用再哈希的方案。也就是提供2 个哈希函数，第 1 次哈希值发生冲突后，再调用第 2 个哈希函数再哈希，直到冲突不再产生。这种方案会增加计算时间。

2.4.2 链表法

上面所述的冲突解决方案的核心思想是，当冲突发生后，在哈希表中再查找一个有效空位置。

这种方案的优势是不会产生额外的存储空间，但易产生数据聚集，会让数据的存储不均衡，并且会违背初衷，通过关键字计算出来的哈希值并不能准确描述数据正确位置。

链表法应该是所有解决哈希冲突中较完美的方案。所谓链表法，指当发生哈希冲突后，以冲突位置为首结点构建一条链表，以链表方式保存所有发生冲突的数据。如下图所示：

链表方案解决冲突，无论在存储、查询、删除时都不会影响其它数据位置的独立性和唯一性，且因链表的操作速度较快，对于哈希表的整体性能都有较好改善。

编码实现链表法：链表实现需要定义 2 个类，1 个是结点类，1 个是哈希类。

#include <iostream>
using namespace std;
/*
*结点类
*/
struct HashNode 
	int value;
	HashNode* next_node;
	HashNode() 
		this->next_node=NULL;
	
	HashNode(int value) 
		this->value=value;
		this->next_node=NULL;
	
	HashNode(int value,HashNode* next_node) 
		this->value=value;
		this->next_node=next_node;
	
;
/*
*哈希类
*/
class HashTable 
	private:
		//哈希表
		HashNode** hashTable;
		//实际数据大小
		int size = 0;
	public:
		HashTable(int size) 
             //初始大小
			this->size=size;
			//初始哈希表
			this->hashTable=new HashNode*[size];
			for(int i=0; i<this->size; i++)
				this->hashTable[i]=NULL;
		
         /*
         *哈希函数
         */
		int hash_code(int key) 
			// 这里仅为说明问题，13 的选择是固定的
			int hash_val = key % 13;
			return hash_val;
		
		/*
		*存储数据
		*key:关键字
		*value:值
		*/
		void put(int key,int value) 
			int hash_val = this->hash_code(key);
			// 新结点
			HashNode* new_node=new HashNode(value);
			if(this->hashTable[hash_val]==NULL ) 
				// 本代码采用首结点保存数据方案
				this->hashTable[hash_val] = new_node;
			 else 
                 //在链表上查找可存储位置
				HashNode*  move =this->hashTable[hash_val];
				while (move->next_node!=NULL)
					move = move->next_node;
				move->next_node = new_node;
			
		
		/*
		*查询数据
		*/
		HashNode* get(int key) 
			int hash_val = this->hash_code(key);
			if (this->hashTable[hash_val]==NULL)
				// 数据不存在
				return NULL;
			if (this->hashTable[hash_val]->value == key) 
				// 首结点就是要找的数据
				return this->hashTable[hash_val];
			
			// 移动指针
			HashNode* move = this->hashTable[hash_val]->next_node;
			while (move->value != key && move!=NULL)
				move = move->next_node;
			return move;
		
		/*
		*输出哈希表中数据
		*/
		void showAll() 
			for(int i=0; i<this->size; i++) 
				if(this->hashTable[i]==NULL) 
					cout<<0<<"\\t";
					continue;
				
				cout<<this->hashTable[i]->value<<"\\t";
			
			cout<<endl;
		
;
//测试
int main(int argc, char** argv) 
	// 原始数据
	int srcNums[] = 25, 78, 56, 32, 88, 26, 39, 82, 14;
	// 哈希对象
	HashTable hashTable(15);
	// 把数据添加到哈希表中
	for(int i=0; i<sizeof(srcNums)/4; i++) 
		hashTable.put( srcNums[i] , srcNums[i]);
	
	// 输出哈希表中的首结点数据
	hashTable.showAll();
	cout<<"\\n-------------查询-----------"<<endl;
	HashNode* node=hashTable.get(26);
	cout<<node->value<<endl;
	return 0;

输出结果：

3.总结

哈希表是一种高级数据结构，其存储、查询性能非常好，时间复杂度可以达到常量级，成为很多实际应用场景下的首选。

研究哈希表，着重点就是搞清楚哈希算法以及如何解决哈希冲突。在算法的世界里，需要有经验的传承，但不要拘泥固定的模板，开发者可以根据自己的需要自行设计哈希算法。