ST算法（区间最值）

Posted 2023-02-03

ST算法是解决RMQ（区间最值）问题，它能在O（nlogn）的时间预处理，然后酶促查询的复杂度是O（1）。

其原理是倍增，f[i][j]表示从i位起的2^j个数中的最大数，即[i,i+2^j-1]中的最大值。

首先，我们要维护一个二维数组mn[i][j]用来表示从j到j+2^i-1的最小值（长度显然为2^i）
任意一段的最小值显然等于min（前半段最小值，后半段最小值）。 
那么mn[i][j]如何用其他状态来继承呢？ 
j到j+2^i-1的长度为2^i，那么一半的长度就等于2^(i-1)。 
那么前半段的状态表示为mn[i-1][j]。 
后半段的长度也为2^(i-1)，起始位置为j+2^(i-1)。 
那么后半段的状态表示为mn[i-1][j+2^(i-1)]。 
所以： 
mn[i][j]=min(mn[i-1][j],mn[i-1][j+2^(i-1)]。

代码：

log[0]=-1;
for(int i=1;i<=200000;i++)
log[i]=log[i/2]+1;//log[i]表示log(i)的整数部分
for(int i=1;i<=n;i++)
ST[0][i]=a[i];//显然2^0=1,所以a[i]*2^0=a[i](一定要初始化)
for(int i=1;i<=log[n];i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
if(j+2^i-1<=n)
ST[i][j]=min(ST[i-1][j],ST[i-1][j+2^(i-1)];

首先明白一个定理： 
2^log(a)>a/2 
这个很简单，因为log(a)表示小于等于a的2的最大几次方。 
比如说log(4)=2,log(5)=2,log(6)=2,log(7)=2,log(8)=3,log(9)=3……. 
那么我们要查询x到y的最小值。 
设len=y-x+1,t=log(len) 
根据上面的定理：2^t>len/2 
从位置上来说，x+2^t越过了x到y的中间！ 
因为位置过了一半 
所以x到y的最小值可以表示为min(从x往后2^t的最小值，从y往前2^t的最小值) 
前面的状态表示为mn[t][x] 
设后面（从y往前2^t的最小值）的初始位置是k， 
那么k+2^t-1=y，所以k=y-2^t+1 
所以后面的状态表示为mn[t][y-2^t+1] 
所以x到y的最小值表示为min(mn[t][x],mn[t][y-2^t+1])，所以查询时间复杂度是O（1）。