LA_#常见矩阵@特殊类型矩阵@三角矩阵@对交矩阵#特殊行列式@范德蒙行列式

Posted 2023-01-26

文章目录

• ​​常见的矩阵(方阵)​​

• ​​单位阵​​
• ​​数量阵​​
• ​​对角阵​​
• ​​方阵​​
• ​​三角阵​​

• ​​上三角​​
• ​​下三角​​

• ​​三角行列式​​

• ​​主对角线三角行列式​​
• ​​副对角线三角行列式​​
• ​​特殊的拉普拉斯展开​​

• ​​范德蒙行列式​​

• ​​拓展形式​​

常见的矩阵(方阵)

• 方阵(n阶矩阵)

• 对角阵

• 数量阵

• 单位阵

• 三角阵

单位阵

• n阶单位阵记为

数量阵

• n阶数量阵记为

对角阵

• 记为

方阵

• n阶方阵,即的矩阵
• 

三角阵

上三角

• 的矩阵是上三角矩阵(方阵)

• 非0元素只存在于对角线以及对角线上方的区域
• 对角线下侧的所有元素都为0

下三角

• 

三角行列式

主对角线三角行列式

• ​​三角形行列式​​

• 记为(triangular determinant)

• 三角行列式的值等于主对角线元素的乘积
• 

副对角线三角行列式

• 

特殊的拉普拉斯展开

• 设方阵A是m+n阶的
• 

• 分布在副对角线上

• 

• 分布在主对角线上

范德蒙行列式

• 范德蒙行列式Vandermonde determinant记为

• 在​​线性代数​​中，范德蒙矩阵的命名来自​​亚历山大‑泰奥菲尔·范德蒙​​的名字，范德蒙矩阵是一个各列呈现出​​几何级数​​关系的​​矩阵​​，例如：
• 
• 如果知道了第一列以外的任意一列元素,就可以推出整个范德蒙行列式,以第2列最为典型
• 

• 行形式为例:

• 设n阶范德蒙行列式的第2行的n个元素为:
• 同一列的相邻元素满足递推关系:
• 或者说,行通项为

• 

• 列形式类似

• 
• 分析(展开)这种二重循环的表达式,可以类比程序设计,确定各自(i,j)的取值范围

• 
• 
• 先固定住j的取值
• 然后变动i
• 依次展开
• (来先固定i也类似)

• 类似于打印9*9乘法表

# print("pattern2:")
for i in range(1,9):
    j=10-i
    print("\\t"*(i-1),end="")
    for j in range(i+1,10):
        print("(x%d-x%d)\\t"%(j,i),end="")
    print()

(base) PS D:\\repos\\PythonLearn>  py tmp.py
(x2-x1) (x3-x1) (x4-x1) (x5-x1) (x6-x1) (x7-x1) (x8-x1) (x9-x1)
        (x3-x2) (x4-x2) (x5-x2) (x6-x2) (x7-x2) (x8-x2) (x9-x2)
                (x4-x3) (x5-x3) (x6-x3) (x7-x3) (x8-x3) (x9-x3)
                        (x5-x4) (x6-x4) (x7-x4) (x8-x4) (x9-x4)
                                (x6-x5) (x7-x5) (x8-x5) (x9-x5)
                                        (x7-x6) (x8-x6) (x9-x6)
                                                (x8-x7) (x9-x7)
                                                        (x9-x8)

拓展形式

•