稀疏优化L1范数最小化问题求解之基追踪准则(Basis Pursuit)——原理及其Python实现

Posted 2023-01-24 Z.Q.Feng

文章目录

• 一、前言
• 二、问题重述
• 三、构造 ${\ell }_1$ 范数
• 四、${\ell }_1$ 范数最小化问题转换为线性规划问题
• 五、基于linprog的基追踪Python代码
• 六、运行测试
• 七、总结

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一、前言

本文针对压缩重构感知中的稀疏优化问题，实现了对其 L1 范数最小化问题 的求解，文章内容较长，请耐心看完，代码部分在本文第五章。

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二、问题重述

考虑线性方程组求解问题：

$$Ax=b\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中向量 $x\in R^{n\times 1},b\in R^{m\times 1}$，矩阵 $A\in R^{m\times n}$，且向量 $b$ 的维数远小于向量 $x$ 的维数，即 $m\ll n$。由于 $m\ll n$，方程组 (1) 是欠定的，因此存在无穷多个解，但是真正有用的解是所谓的“稀疏解”，即原始信号中有较多的零元素。

$$x=[0,0,1,0,...,1,0,0]\text{\hspace{1em}(2)}$$

如果加上稀疏性这一先验信息，且矩阵 $A$ 以及原问题的解 $u$ 满足某些条件，那么我们可以通过求解稀疏优化问题把 $u$ 与方程组 (1) 的其他解区别开。这类技术广泛应用于压缩感知(compressive sensing)，即通过部分信息恢复全部信息的解决方案。

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三、构造 ${\ell }_1$ 范数

举一个具体的例子(在 Python 环境里构造 $A,u$ 和 $b$)¹：

import numpy as np
m, n = 128, 256
# 128x256矩阵，每个元素服从Gauss随机分布
A = np.random.randn(m, n)
# 精确解 u 只有 10% 元素非零，每一个非零元素也服从高斯分布
# 可保证 u 是方程组唯一的非零元素最少的解
u = sprase_rand(n, 1, 0.1)
b = A * u

在这个例子中，我们构造了一个 $128\times 256$ 矩阵 $A$，它的每个元素都服从高斯 (Gauss) 随机分布(参照我的这篇博客：在Python中创建、生成稀疏矩阵（均匀分布、高斯分布）)。

精确解 $u$ 只有 10% 的元素非零，每一个非零元素也服从高斯分布。这些特征可以在理论上保证 $u$ 是方程组 (1) 唯一的非零元素最少的解，即 $u$ 是如下 ${\ell }_0$ 范数问题的最优解：

$$\min {\Vert x\Vert }_0,s.t.Ax=b.\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中 ${\Vert x\Vert }_0$是指 $x$ 中非零元素的个数．由于 ${\Vert x\Vert }_0$ 是不连续的函数，且取值只可能是整数，问题 (3) 实际上是 NP(non-deterministic polynomial) 难的，求解起来非常困难。

若定义 ${\ell }_1$ 范数：${\Vert x\Vert }_1={\sum }_{i=1}^n\left|x_i\right|$，并替换到问题 (3) 中，我们得到了另一个形式上非常相似的问题(又称 ${\ell }_1$ 范数优化问题，基追踪问题)：

$$\min {\Vert x\Vert }_1,s.t.Ax=b.\text{\hspace{1em}(4)}$$

可以从理论上证明：若 $A,b$ 满足一定的条件²(例如使用前面随机产生的 $A$ 和 $b$)，向量 $u$ 也是 ${\ell }_1$ 范数优化问题 (4) 的唯一最优解。

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四、${\ell }_1$ 范数最小化问题转换为线性规划问题

在文献³中，给出了将问题 (4) 即 ${\ell }_1$ 范数最小化问题转换为标准的线性规划问题的一种方法，首先对于如下问题：

$$\min {\Vert \alpha \Vert }_1,s.t.\Phi \alpha =s.\text{\hspace{1em}(P)}$$

利用基追踪 (Basis Pursuit) 的定义，我们尝试将问题 P 与线性规划 (LP) 问题连接起来。首先，式 P 中变量 $\alpha$ 没有非负约束，在此我们将 $\alpha$ 定义为两个非负变量的差：

$$\alpha =u-v,u,v\ge 0\text{\hspace{1em}(5)}$$

由于 $u$ 可以大于也可以小于 $v$，所以 $a$ 可以是正的也可以是负的⁴。接着约束条件 $\Phi \alpha =s$ 重写为 $\Phi (u-v)=s$，也可改写为如下形式：

$$\left[\begin{array}{c}\Phi ,-\Phi \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right]=s\text{\hspace{1em}(6)}$$

然后，根据范数的定义，目标函数改写为：

$${\Vert \alpha \Vert }_1=\sum _{i=1}^n\left|{\alpha }_i\right|=\sum _{i=1}^n\left|u_i-v_i\right|\text{\hspace{1em}(7)}$$

目标函数中包含绝对值，采用网页⁵中的证明，对于有限维度的向量 ℓ 1 \\ell_1 ℓ1​以上是关于稀疏优化L1范数最小化问题求解之基追踪准则(Basis Pursuit)——原理及其Python实现的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

凸优化之基追踪

压缩感知

『教程』L0L1与L2范数_简化理解

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超定线性方程组Ax=b极小L1范数求解——MATLAB/Python实现

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