C/C++语言笔记-递归迭代动态规划的区别与联系（手段就2种-递归/迭代）

Posted 2023-01-21 IT1995

原文：递归、迭代、动态规划的区别与联系_我是一片小树叶的博客-CSDN博客

参考：递归，迭代，分治，动态规划 - 知乎

一、定义

递归：程序调用自身,从顶部将问题分解，通过解决掉所有分解出来的小问题，来解决整个问题。

迭代：利用变量的原值推算出变量的一个新值。递归中一定有迭代，但是迭代中不一定有递归。

动态规划：通常与递归相反，其从底部开始解决问题。将所有小问题解决掉，进而解决的整个问题。

下面通过斐波那契数列相关代码来比较一下三者。

斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，11，13…

二、递归

自上而下调用函数本身，速度较慢，不推荐。

要知道第n个数，必须要先知道第n-1和第n-2个数。

而想要知道第n-1个数必须要先知道第n-2和第n-3个数，

想要知道第n-2个数必须要先知道第n-3和第n-4个数。

f(n)

=f(n-1)+f(n-2)

=f(n-2)+f(n-3)+f(n-3)+f(n-4)

=…

int fibonacci(int n)

	if (n <= 2)
		return 1;
	else
		return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);

三、迭代

利用原值去求解下一个值，一般比递归更加快速。

由第一个数和第二个数去求解第三个数，

由第二个数和第三个数去求解第四个数，

以此类推。

f(3)=f(2)+f(1)

f(4)=f(3)+f(2)

f(5)=f(4)+f(3)

…

int fibonacci(int n)

	if (n <= 2)
		return 1;
		
	int first = 1, second = 1, answer;
	for (int i = 3; i <= n; i++)
	
		answer = first + second;
		first = second;
		second = answer;
	
	
	return answer;

四、动态规划

动态规划甚至比迭代还要更快一点，但是采用了空间换时间。

1、级问题的最优解包含了其子问题的最优解，也就是最优子结构性质。

2、有些子问题的可能需要多次计算，即子问题的重叠的性质。

3、子问题的解存储在一张表格里，这样每个子问题只用计算一次。

4、需要额外的空间以节省时间。

int fibonacci(int n)

	vector <int> dp;
	dp.push_back(0);
	dp.push_back(1);
 
	for (int i = 3; i <= n; i++)
		dp.push_back(dp[i-1] + dp[i-2]);
 
	return dp[n];

疑问

这里存在一个问题，感觉这个迭代和动态规划很像，只是动态规划用了个vector，感觉就是空间结构上比较高大上了一点，但如果，我们自定义一个更加高大上的结构，那么上文这个动态规划法，不就变成了迭代了吗。下面给出了答案。

Summary

• 递归/迭代是实现手段，分治是解决问题的思想，动态规划使用存储了子问题运算结果的递归/迭代实现。
• 递归的逻辑：“要求得 d[m][n]，先要求得 d[m-1][n-1]……”，自顶向下 Top-Down；
• 动态规划的逻辑：“先求得 d[m-1][n-1]，再求 d[m][n]……”，由下而上 Bottom-Up。

贪心算法用于解决具有贪心选择性质的一类问题，既可以用递归实现，也可以用迭代实现，因为很多递归贪心算法都是尾递归，很容易改成迭代贪心算法。

从手段上来分就2种：一种是递归一种是迭代。

这里提下分治的思想：

将原问题分解为若干个规模较小但类似于原问题的子问题（Divide），「递归」地求解这些子问题（Conquer），然后再合并这些子问题的解来建立原问题的解（Merge）。