祖孙询问（最近公共祖先：倍增）

Posted 2023-01-15 lwz_159

题目描述

给定一棵包含 n 个节点的有根无向树，节点编号互不相同，但不一定是 1∼n。
有 m 个询问，每个询问给出了一对节点的编号 x 和 y，询问 x 与 y 的祖孙关系。

输入格式

输入第一行包括一个整数 表示节点个数；
接下来 n 行每行一对整数 a 和 b，表示 a 和 b 之间有一条无向边。如果 b 是 −1，那么 a 就是树的根；
第 n+2 行是一个整数 m 表示询问个数.
接下来 m 行，每行两个不同的正整数 x 和 y，表示一个询问。

输出格式

对于每一个询问，若 x 是 y 的祖先则输出 1，若 y 是 x 的祖先则输出 2，否则输出 0。

数据范围

1≤n,m≤4×104,
1≤每个节点的编号≤4×104

输入样例
10
234 -1
12 234
13 234
14 234
15 234
16 234
17 234
18 234
19 234
233 19
5
234 233
233 12
233 13
233 15
233 19
输出样例
1
0
0
0
2

题目分析

这是一道用倍增法求最近公共祖先的模板题。
倍增法： O(nlogn+qlogn) 在线算法

1. 我们需要的预处理出的数组：预处理O(nlogn)
   fa[i][j] //表示从i节点开始，向上走2^j步所能到达的节点。
depth[i] //表示i节点的深度
2. 求两点最近公共祖先的步骤：查询O(logn)
   1）先让两个节点跳到同一层.
   2）让两个节点同时往上跳，跳到它们最近公共祖先的下一层为止。此时的答案即为：fa[a或b][0].

代码如下

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <set>
#include <algorithm>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define PII pair<int,int>
#define x first
#define y second
using namespace std;
const int N=4e4+5,INF=0x3f3f3f3f;
vector<int> h[N];			//存图
int depth[N],fa[N][16];
void bfs(int root)			//bfs预处理出fa[][]和depth[]两个数组

	memset(depth,0x3f,sizeof depth);
    queue<int> q;
    depth[0]=0; depth[root]=1;		//设0号点为哨兵，其深度为0。root的深度为1
    q.push(root);					//将root加入队列
    while(q.size())
    
        int t=q.front();
        q.pop();
        for(int i=0;i<h[t].size();i++)
        
            int j=h[t][i];
            if(depth[j]>depth[t]+1)		//如果j的深度大于其父节点t的深度+1
            
                depth[j]=depth[t]+1;	//则更新depth[j]
                q.push(j);
                fa[j][0]=t;				//j节点向上跳2^0步是t
                for(int k=1;k<=15;k++)	//j节点向上跳2^k步 等于 j节点向上跳2^k-1步的节点再向上跳2^k-1步
                    fa[j][k]=fa[fa[j][k-1]][k-1];
            
        
    

int lca(int a,int b)		//求a和b节点的最近公共祖先

    if(depth[a]<depth[b]) swap(a,b);	//保证a的深度大于等于b的深度
    for(int k=15;k>=0;k--)				//先让a节点跳到和b的同一层上
        if(depth[fa[a][k]]>=depth[b])
            a=fa[a][k];
    
    if(a==b) return a;					//如果此时a==b，说明b节点即为a，b的最近公共祖先
    for(int k=15;k>=0;k--)
        if(fa[a][k]!=fa[b][k])			//让a和b跳到两节点最近公共祖先的下一层
        
            a=fa[a][k];
            b=fa[b][k];
        
    return fa[a][0];			//最近公共祖先即为a/b的父节点


int main()

    int n,root;
    scanf("%d",&n);
    while(n--)					//建图
    
        int u,v;
        scanf("%d %d",&u,&v);
        if(v==-1) root=u;		//记录根节点
        else 
            h[u].push_back(v);
            h[v].push_back(u);
        
    
    bfs(root);
    scanf("%d",&n);
    while(n--)					//q组询问
    
        int a,b;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        int p=lca(a,b);			//p为a和b的最近公共祖先
        if(p==a) puts("1");		//p==a说明a节点是b节点的祖先
        else if(p==b) puts("2");//p==b说明b节点是a节点的祖先
        else puts("0");
    
    return 0;