机器学习-KMeans算法(图解算法原理)

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简介


k均值聚类算法(k-means clustering algorithm)是一种迭代求解的聚类分析算法,也就是将数据分成K个簇的算法,其中K是用户指定的。

比如将下图中数据分为3簇,不同颜色为1簇。

K-means算法的作用就是将数据划分成K个簇,每个簇高度相关,即离所在簇的质心是最近的。
下面将简介K-means算法原理步骤。

算法原理


  1. 随机选取K个质心

随机3个点为质心(红黄蓝),淡蓝色为数据。

附可视化代码:

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.datasets import make_blobs
# 生成数据集:500个点,二维特征,3个质心
x, y = make_blobs(n_samples=500, n_features=2, centers=3, random_state=20220929)
plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], color="lightblue")
# 随机
center = [[3, -1], [5, -2.5], [8, -2]]
colors = ["red", "gold", "blue"]
plt.scatter(center[0][0], center[0][1], color=colors[0])
plt.scatter(center[1][0], center[1][1], color=colors[1])
plt.scatter(center[2][0], center[2][1], color=colors[2])
plt.show()
  1. 计算每个数据到各质心距离

一般使用欧氏距离来计算,为了便于展示,取特征维数为2,即 ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 \\sqrt(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 (x1x2)2+(y1y2)2

def _distance(v1, v2):  # 不开根号节省算力,效果一致
    return np.sum(np.square(v1-v2))
  1. 将数据分到最近质心的簇
    dist = np.zeros((500, 3), float)  # 距离
    c = [3]  # 3个簇
    for i in range(500):
        mx = -1.  # 最近值
        idx = 0  #最近簇
        for j in range(3):
            dist[i][j] = _distance(x[i], center[j])
            if mx > dist[i][j] or mx == -1.:
                mx = dist[i][j]
                idx = j
        # 设置透明度,以区分质心    
        plt.scatter(x[i][0], x[i][1], color=colors[idx], alpha=0.2)
        c[idx].append(i)  
    plt.show()

  1. 根据各簇数据更新质心

c j = 1 ∣ c j ∣ ∑ x ∈ c j x c_j=\\frac1\\left|c_j\\right|\\sum_x\\in c_jx cj=cj1xcjx
其中 c j c_j cj表示第 j j j个质心,也就是计算属于当前簇数据的均值作为新的质心。即K均值算法名称由来。

当平均误差和SSE越小越接近质心,由推导得质心取数据均值时,SSE最小。

比如数据[[1, 2], [3, 4]]属于同一个簇,则更新簇中心为[2, 3]。

    # 更新质心
    for i in range(3):
        sum_x = 0.
        sum_y = 0.
        for j in range(len(c[i])):
            sum_x += x[c[i][j]][0]
            sum_y += x[c[i][j]][1]
        center[i] = [sum_x/len(c[i]), sum_y/len(c[i])]
    plt.scatter(center[0][0], center[0][1], color=colors[0])
    plt.scatter(center[1][0], center[1][1], color=colors[1])
    plt.scatter(center[2][0], center[2][1], color=colors[2])
    plt.show()

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  1. 重复2-4步直到收敛

∑ i = 1 n a r g m i n ∣ ∣ x i − c i ∣ ∣ \\sum_i=1^n argmin||x_i-c_i || i=1nargminxici
计算当前聚类的平方差,循环退出条件是取得最小的平方差,也就是质心不再改变的时候。最终质心一定是确定的,不会陷入死循环。

随着循环次数逐渐收敛,不难证第1步随机的初始质心对结果无影响,即使得K-means算法具有普遍适用性。


可以看出,第六次更新后聚类相同,数据收敛。
大家可以尝试修改初始质心,查看结果是否一致。

sklearn库调用


上面手动复现了K-means代码的实现,但其实sklearn库有相应的封装函数,本节介绍其调用。
sklearn.cluster.KMeans,主要参数:

  • n_clusters:k值,质心数,默认8

  • max_iter : int, default:最大迭代次数

  • tol:质心的变化率小于此值时结束,默认1e-4

  • random_state:随机种子

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.datasets import make_blobs

if __name__ == "__main__":
    # 数据
    x, y = make_blobs(n_samples=500, n_features=2, centers=3, random_state=20220929)
    # 创建KMeans对象
    km = KMeans(n_clusters=3, random_state=20220929)
    # 训练模型
    km.fit(x)
    # 测试
    predict = km.predict(x)
    # 可视化
    plt.scatter(x[:, 0], x[:, 1], c=predict)
    plt.show()


用过都说好(~ ̄▽ ̄)~

K的取值


最后还有一个问题,就是K是用户指定的,那又该怎么确定K值呢?

站在巨人的肩膀上,主要有两种方法:手肘法和轮廓系数法。

  1. 手肘法

S S E = ∑ i = 1 k ∑ p ∈ C i ∣ p − m i ∣ 2 SSE=\\sum_i=1^k\\sum_p\\in C_i|p-m_i|^2 SSE=i=1kpCipmi2
C i C_i Ci表示第 i i i个簇, m i m_i mi表示第 i i i个簇的质心, p p p是数据样本点。

根据误差平方和SSE来选择K值,但并不是选SSE最小时对应的K,而是选SSE突然变小时的K,如下图,K应选3,图似手肘故得名。

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.datasets import make_blobs

if __name__ == "__main__":
    x, y = make_blobs(n_samples=500, n_features=2, centers=3, random_state=20220929)
    SSE = []
    for k in range(2, 10):
        km = KMeans(n_clusters=k)
        km.fit(x)
        SSE.append(km.inertia_)
    plt.xlabel('K')
    plt.ylabel('误差平方和')
    plt.plot(range(2, 10), SSE, 'o-')
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.show()
  1. 轮廓系数法

S = b − a m a x ( a , b ) S=\\fracb-amax(a,b) S=max(a,b)ba
a a a是到同簇中其它样本的平均距离,表示内聚度。
b b b是到其他簇中所有样本的平均距离,表示分离度。

考虑内聚度和分离度两个因素,计算轮廓系数(Silhouette Coefficient)S,S越接近1则聚类效果越好。如下图,K=3时,S最接近1。

import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.cluster import KMeans
from sklearn.datasets import make_blobs
from sklearn.metrics import silhouette_score

if __name__ == "__main__":
    x, y = make_blobs(n_samples=500, n_features=2, centers=3, random_state=20220929)
    S = []
    for k in range(2, 10):
        km = KMeans(n_clusters=k)
        km.fit(x)
        S.append(silhouette_score(x, km.labels_))
    plt.xlabel('K')
    plt.ylabel('轮廓系数')
    plt.plot(range(2, 10), S, 'o-')
    plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
    plt.show()

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