特拉亨伯格（Trachtenberg）速算(转载)

Posted 2023-05-17

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原文链接： https://www.jianshu.com/p/cfda37aaedb1

前两天看电影《天才少女》（2017年），在影片中，主角麦肯娜·格瑞丝小女孩(Mckenna Grace) 学会了一种叫做特拉亨伯格（Trachtenberg）的速算系统，感觉很有意思。于是我在网上搜索，在这儿给大家做一个简介，希望也能激起你们的兴趣，并掌握这种速算方法。由于名字太长不好记，我把它简称为：“特速算”。

特速算的作者，是俄国的数学家 Jakow Trachtenberg （1888-1953），据说是在二战期间，被关进[纳✲粹]集中营，在狱中，他开发出这套心算算法。这套算法后来被命名为Trachtenberg(特拉亨伯格)速算系统。
如果想系统的学习，还可以深入看一下英文版图书《The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics》， 由 Ann Cutler和Rudolph McShane 编译。

这儿，我先做个基本的入门介绍，整理给大家。大致按以下内容来讲：

传统的方法，大家都非常熟悉，我们就以电影中 麦肯娜·格瑞丝 做的这道题为例。

如果把这个步骤拆解细一点的话，应该是这样的：

很显然，作为普通的我们来说，要想在大脑中按照这种思路进行心算，最难的应该有两点：

因为太多了，所以很容易搞混淆。为了解决这样的困扰，特拉亨伯格想出的这套特速算，比较好的解决了这种一次运算过多以及位置对齐的问题。
他将中间计算过程进行 分步骤 ，每一步都只做 个位数的乘法和加法 ，所以，很容易在大脑暂时记忆这些中间计算结果。

下面先以乘数是两位数的上述例子，采用特速算的方式重新来看一下其计算步骤。

大脑具体运算过程和记忆方法如下图示意（每个人有自己的记忆方法，这儿做个示意，供你参考）：

下面从末尾倒向开始进行特速算，注意只关注当前计算的位。
我们用实心圆点表示对所指示的计算，提取乘法结果的个位（如下图中的值：5）。

我们用空心圆点表示对所指示的计算，提取乘法结果的十位。也即是上一次计算的十位（如上一图的值：3）。

最终，将暂存在大脑中的数相加，放入最终结果的首位（可能是 0🔔，就不必放了）。
再采用联想记忆，给最终结果编排一个故事：

在你的大脑中想象那画面吧😋。

下面再以乘数是三位数的上述例子，采用特速算的方式继续看一下其计算步骤。

下面从末尾倒向开始进行特速算，注意只关注当前计算的位。

采用上述办法，依次类推下面的 5、6步。

接下来我们看稍微有点差异的7、8步。

最终，将暂存在大脑中的数相加，放入最终结果的首位（可能是 0🔔，就不必放了）。
再采用联想记忆，给最终结果编排一个更生动的故事：

当然，你也可以按2位数字谐音，重新编个故事（怎么有意思就怎么编）：

再一次，在你的大脑中想象那画面吧😋，这样，你就记住了最终结果。

通过以上步骤，掌握了特速算的方法后，再来看常用到的两位数乘法，就显得容易多了。比如， 你去买猪肉，￥23/斤，重约 3.8 斤，得花多少钱呢？很显然快速分3步：

一看，我的个乖乖，快 ￥100大洋了，少买点吧，吃不起了，吃不起了…… 🙉🙈🙊🐵

当然，这种过于简单的也不一定非得要用特速算，比如上例中，如果我把重量毛算成 4斤，再减2两，就是 23 × 4 ﹣ 23 × 0.2 = 92 - 4.6 = ￥87.4，也能很快的算出来。但如果是3位数的运算，这种简单的心算又不适合了。所以，我们还是要根据情况灵活使用各种速算方法。

好的，基本的特速算方法就是这样咯，不管怎样得多练习一下才能流利的使用。另外，在《The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics》一书中，还提供了各种特殊乘数（比如： ×11等）的运算方法，可以去深入的发掘。后面空了我再来补充介绍一下。

在 C++ 中加速算法

【中文标题】在 C++ 中加速算法

【英文标题】：Speeding up algorithm in C++

【发布时间】：2016-05-13 17:46:39

【问题描述】：

TL;DR：我的代码在 Java 中“很快”，但在 C++ 中却慢得要命。为什么？

#include <iostream>
#include <vector>
#include <map>
#include <algorithm>


using namespace std;

int read(string data, int depth, int pos, vector<long>& wantedList) 
    // 91 = [
    if (data.at(pos) == 91) 
        pos++;
        // Get first part
        pos = read(data, depth + 1, pos, wantedList);
        // Get second part
        pos = read(data, depth + 1, pos, wantedList);
     else 
        // Get the weight
        long weight = 0;
        while (data.length() > pos && isdigit(data.at(pos))) 
            weight = 10 * weight + data.at(pos++) - 48;
        
        weight *= 2 << depth;
        wantedList.push_back(weight);
    
    return ++pos;



int doStuff(string data) 
    typedef map<long, int> Map;
    vector<long> wantedList;
    Map map;
    read(data, 0, 0, wantedList);
    for (long i : wantedList) 
        if (map.find(i) != map.end()) 
            map[i] = map[i] + 1;
         else 
            map[i] = 1;
        
    

    vector<int> list;
    for (Map::iterator it = map.begin(); it != map.end(); ++it) 
        list.push_back(it->second);
    
    sort(list.begin(), list.begin() + list.size());
    cout << wantedList.size() - list.back() << "\n";
    return 0;



int main() 
    string data;
    int i;
    cin >> i;
    for (int j = 0; j < i ; ++j) 
        cin >> data;
        doStuff(data);
    
    return 0;

我刚刚尝试了我的第一个 C++ 项目，它是用 Java 重写的代码。 最初的任务是计算需要更改多少数字才能“平衡”输入，假设高于某物的每一层的重量是低层的两倍

例如 [1,2] 需要 1 次更改（1->2 或 2->1 以便两边相等，而 [8,[4,2]] 需要 1 次更改（2-> 4）为了让“低级”变成8级，从而在高级上具有同等权重。有兴趣的可以在这里找到问题：

Problem link

对于那些想知道的人来说，这是关于算法的学校作业，但我不是在寻求帮助，因为我已经用 Java 完成了它。问题是我的算法在 C++ 方面似乎很糟糕。

在 Java 中，我得到大约 0.6 秒的时间，而在 C++ 中，“相同”代码给出 >2 秒（超出时间限制）。

有人愿意告诉我这是为什么吗？在处理这类问题时，我的印象是 C++ 应该比 Java 快。

【问题讨论】：

这可能更适合codereview 网站。也就是说，由于您是 C++ 新手，您是否打开了编译器优化？ Java 默认启用它们，但对于 C++，您通常必须启用它们。

data 有多大？你到处抄袭

你可能想通过引用传递你的字符串作为开始。

你根本不需要list。您正在对map 中的所有值进行排序，然后取最大值。您可以简单地使用std::max_element 获得map 中的最大值。如果您不需要按键排序，也可以使用std::unordered_map，这可能更好地反映您的 Java 代码。

@nikolap 哈哈，谢谢伙计！这将时间从 >2 缩短到 0.13

【参考方案1】：

可能的原因之一是复制。

每当您在 C++ 中按值传递某些内容时，都会创建一个副本。对于double、int 或指针之类的东西，这不是问题。

但是对于像std::string 这样的对象，复制可能会很昂贵。由于您不修改 data，因此通过 const 引用传递它是有意义的：

int read(const string &data, int depth, int pos, vector<long>& wantedList)