（Water Filling）注水算法原理与实现

Posted 2022-12-13 爱吃猫咪的花酱

目录

• 问题背景与建模
• 问题求解
• 算法描述
• 算法实现
• • 方法一
  • 方法二
  • • 线性搜索
    • 二分搜索
  • 测试代码
• 总结

问题背景与建模

考虑一个多用户多输入单输出MU-MISO下行通信场景，基站端配置有$N$根天线，其服务该小区下$K$个单天线用户。假定信道为平坦瑞利衰落信道，记为$\mathbf{H}\in {\mathcal{C}}^{N\times K}$，基站最大发射功率为$P$。假设波束赋形采用Zero Forcing,若记
$$\mathbf{W}=\mathbf{H}({\mathbf{H}}^H\mathbf{H}{)}^{-1}$$

注意$\mathbf{W}$并不是最终的波束赋形矩阵，因为还没有考虑功率约束以及进一步的功率分配。

则第$k$个用户的波束方向为
$${\tilde{\mathbf{w}}}_k=\frac{{\mathbf{w}}_1}{||{\mathbf{w}}_1|{|}_2}$$

记$\tilde{\mathbf{W}}=[{\tilde{\mathbf{w}}}_1,...,{\tilde{\mathbf{w}}}_K]$，功率分配矩阵为

$$\mathbf{P}=\text{diag}(P_1,...,P_K)$$

则最终的波束赋形矩阵为
$${\mathbf{W}}_{\text{ZF}}=\tilde{\mathbf{W}}\cdot \sqrt{\mathbf{P}}$$

若不考虑功率分配，显然$\forall k,P_k=P/K$。

若记基站发送的符号向量为$\mathbf{s}=[s_1,...,s_K]$，且满足$\mathbb{E}[\mathbf{s}{\mathbf{s}}^H]={\mathbf{I}}_K$，则用户$k$接收到的信号为
$$y_k={\mathbf{h}}_k^H{\mathbf{w}}_k{s}_k+n_k$$

这是因为ZF完全消除了用户间干扰！此时SINR就是SNR。

而对于其他的波束赋形，如MMSE、MRT等，由于用户间干扰不能完全去除，用户$k$的SINR里面还嵌入有其他用户的功率，本文water-filling求出的解只是对于ZF波束赋形是最优的，对于其他的beamforming, 只能说是次优和heuristic的。

其中$n_k$为用户$k$处的噪声，$n_k\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,1)$。第$k$个用户的信噪比SNR为
$${\gamma }_k=||{\mathbf{h}}_k^H{\mathbf{w}}_k|{|}_2^2=P_k||{\mathbf{h}}_k^H{\tilde{\mathbf{w}}}_k|{|}_2^2$$

第$k$个用户的信息速率为
$$R_k=\log (1+{\gamma }_k)$$

实际上这是肯定不可能达到的，只具有理论分析上的意义。

现在希望合理的分配功率来使得加权和速率最大，即
$$\begin{gathered} \underset{P_1,...,P_K}{\max }\sum _{k=1}^K{\alpha }_k{R}_k \\ \text{s.t.}\sum _{k=1}^K{P}_k=P \\ {P}_k\ge 0 \end{gathered}$$

上面直接让各用户功率之和等于最大发射功率，即让本来的不等式约束变为严格等于。这是因为最优解必然是满足这一点的。

问题求解

∑ k = 1 K α k R k = ∑ k = 1 K α k log ⁡ ( 1 + P k ∣ ∣ h k H w ~ k ∣ ∣ 2 2 ) = ∑ k = 1 K α k log ⁡ ( 1 ∣ ∣ h k H w ~ k ∣ ∣ 2 2 + P k ) + ∑ k = 1