算法-------过河经典问题，超详细解析

Posted 2022-12-11 星丶空LTL

算法-------过河问题

题目来源POJ 题号为1700http://poj.org/problem?id=1700

描述
有N人希望用一条船过河，这条船最多只能载两个人。因此，必须安排某种方案来回划船，以便所有人都能过河。每个人都有不同的速度；两个人的速度取决于速度较慢的人的速度。你的工作是确定一个策略，尽量减少这些人的过河时间。

输入
输入的第一行包含一个整数T(1<=T<=20)，测试用例数。接下来是T个案例。每个案例的第一行包含N，第二行包含N个整数，给出每个人过河的时间。每个案例前面都有一个空白行。不会有超过1000人，没有人需要超过100秒的跨越。

输出
对于每个测试用例，打印一行，其中包含所有N个人过河所需的总秒数。

样本输入
1
4
1 2 5 10

样本输出
17

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问题分析
（以下N人速度分别用abcd…表示，且按速度升序排序，time表示所需要的时间）

1. 当n= 1时，time则为a
2. 当n= 2时，time则为b
3. 当n= 3时，time则为a+b+c（a与任意一个人过河，a再回来，再和剩下的人过河）
4. 当n>= 4 时，问题就复杂很多，因为任意两人过河，再在过了河中其中一个再回来有很多情况，我们这里需要进行分析
   观察题目我们可以发现过河中有两个最为重要的点
   方案【1】过河的两个人，花费时间是由最长的人决定
   针对这一点，我们可以把最慢d的和次慢c的放一起，这样次慢的时间c就被忽略。
   方案【2】回来的一个人，花费时间只由他一个人决定
   针对这一点，我们可以让最快的a把其他人一一送过去，再由最快的a把船送回来

将上面的方案实现
当n = 4时（以下N人速度分别用abcd…表示，且按速度升序排序）（）内表示花费时间
方案【1】abcd
ab（b）过去
a （a）回来
cd（d）过去
b（b）回来
ab（b）过去
所花费时间：a+3b+d

方案【2】abcd
ad（d）过去
a（a）回来
ac（c）过去
a（a）回来
ab（b）过去
所花费时间：2a+b+c+d

计算样例
现在我们导入题目样例1，2，5，10
方案【1】时间 = 17
方案【2】时间 = 19
所以用方案【1】花费时间最短，时间为17。
但如果我们修改一下数据1，2，2，10
方案【1】时间 = 17
方案【2】时间 = 16
这次却是方案【2】花费的时间最短，时间为16。

如果我们将两个方案的所花费时间约一下则
方案【1】：2b
方案【2】：a+c
可以看出所花费的时间 决定性因素 只于最快的a和次快的b和次慢的c，我们只需要将2b和a+c进行比较，选择花费时间最小的方案即可。

当n > 4 时我们可以表示为用最快的前两个人运送最慢的后两个人便可，运送完人数就减少2。

下面是已经AC了的代码，仅供参考

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class 过河         

	static long time = 0L;
	public static void main(String[] args)
	
		Scanner sc = new Scanner(System.in);
		int m = sc.nextInt();
		for (int i = 0; i < m; i++)
		
			int n = sc.nextInt();
			int[] A = new int[n];
			for (int j = 0; j < n; j++)
			
				A[j] = sc.nextInt();
			
			Arrays.sort(A);
			f(A);
			System.out.println(time);
			time = 0L;
		
	
	public static void f(int[] A) 
		if(A.length == 3) 
			time += A[0] + A[1] + A[2];
			return;
		
		if(A.length == 2) 
			time += A[1];
			return;
		
		if(A.length == 1) 
			time += A[0];
			return;
		
		if(A[0] + A[A.length - 2] < A[1] * 2) 
			time += 2 * A[0] + A[A.length - 2] + A[A.length - 1];
		else 
			time += A[0] + 2 * A[1] + A[A.length - 1];
		
		int[] B = Arrays.copyOfRange(A, 0, A.length - 2);
		f(B);