单调栈的使用

Posted 2022-12-11 让AI服务于我

理解栈：

• 在了解单调栈之前我们需要先了解一下栈的用法，简单来说就是后进先出（LIFO）。
• c++有专门的stack库，可以使用现成的push，pop等操作。但是很多题目时，会发现使用数组实现更加方便和快捷。
• 下图是栈的模型：
  
• 看到这里其实我刚开始学觉得栈也就如此了，无非是实现倒置比较方便，确确实实的忽略了栈的优点。如果一整串放进去再输出确实是实现倒置，但是中途的一些变换令栈变得有趣。

单调栈：

• 顾名思义：单调栈就是栈里面存放的元素呈现出一种单调增或者减的状态。
• 工具是简单的，应用却是困难的，需要一些练习帮助理解。
• 这里引用csp2013年的最大矩形问题为例。

问题描述
　　在横轴上放了n个相邻的矩形，每个矩形的宽度是1，而第i（1 ≤ i ≤ n）个矩形的高度是hi。这n个矩形构成了一个直方图。例如，下图中六个矩形的高度就分别是3, 1, 6, 5, 2, 3。

　　请找出能放在给定直方图里面积最大的矩形，它的边要与坐标轴平行。对于上面给出的例子，最大矩形如下图所示的阴影部分，面积是10。

输入格式
　　第一行包含一个整数n，即矩形的数量(1 ≤ n ≤ 1000)。
　　第二行包含n 个整数h1, h2, … , hn，相邻的数之间由空格分隔。(1 ≤ hi ≤ 10000)。hi是第i个矩形的高度。
输出格式
　　输出一行，包含一个整数，即给定直方图内的最大矩形的面积。
样例输入
6
3 1 6 5 2 3
样例输出
10

题目思路：

我们一开始看这个题可能第一想法就是暴力枚举举例出所有的区间然后获取高度的最小值乘以区间长度。但是有没有更好的解法是每一个合格的程序员应该思考的事情。
思路提升：其实问题的根本在于如何选取区间。这种问题可以采用单调栈。
我们这样思考：假如这是一个递增的序列，那么的话毫无疑问最大矩形面积就是从序列左面起每一个小矩形一直到右面去进行比较选择最大值。然而输入样例并非如此，但是我们可以进行转化，我们去维护一个单调栈，但是在这样一个过程中涉及到出栈的情况，假如 1 2 4 3这样的输入，输入3的时候那么4就要出栈，在出栈的时候因为4比3高，我们可以直接忽略4的高度，因为必须得满足最低的条件。这个时候我们可以近似的看作 1 2 3 3 的情况，但是这个时候还存在一个问题，我们真的就可以毫无差别的去把4改成3吗？在这个例子中是对的，请看下面的情况： 1 6 2 这个时候如果我们近似看作 1 2 2 可能获取最大面积是4，但是真实答案是6，所以我们在出栈的时候还要统计出栈的元素他们组合在一起时的矩形面积去和答案比较。我们看一下更复杂的情况出栈 5 6，当然倒序出栈是6 5 ，出6的时候我们进行答案比较，此时宽度为1。我们再出栈5，此时宽度是2再次进行比较。这样才是最合理的情况。到此我希望你可以明白这个题的解题思路，如果有不懂的问题欢迎私聊。下面的题作为练手吧！

• 洛谷单调栈习题 其实上面的题会做以后，这个大同小异只是换了一种说法罢了。