leetcode刷题（132）——完全背包问题思路理解

Posted 2022-12-10 伯努力不努力

完全背包问题描述

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次），求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。

同样leetcode上没有纯完全背包问题，都是需要完全背包的各种应用，需要转化成完全背包问题，所以这里还是以纯完全背包问题进行讲解理论和原理。

版本1：这是朴素版本的，时间复杂度O(nm^2)

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int dp[N][N], v[N], w[N];

int main()
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        cin >> v[i] >> w[i];

    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        for(int j = 0; j <= m; j ++ )
            for(int k = 0; k * v[i] <= j; k ++ )
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);
    cout << dp[n][m] << endl;

版本2：这个就是把上面版本的第三重循环优化掉，优化的原理就是：
dp[i][j - v] = max(dp[i - 1][j - v], dp[i - 1][j - 2 * v] + w, dp[i - 1][j - 3 * v] + 2 * w, …)；
而我们需要的dp[i][j]的状态表示是：
dp[i][j]= max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - v] + w, dp[i - 1][j - 2 * v] + 2 * w, dp[i - 1][j - 3 * v] + 3 * w);
将每一项一一比对，我们可以得到下列状态表示:
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - v] +w)；

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int dp[N][N], v[N], w[N];

int main()
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = 0; j <= m; j ++ )
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if(j >= v)
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][j - v] + w);
        
    
    cout << dp[n][m] << endl;

版本3：对代码进行等价变形。对照01背包的代码，就是将第二个循环从小到大进行枚举即可。

#include<iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int dp[N];

int main()
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++ )
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = v; j <= m; j ++ )
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - v] + w);
        
    
    cout << dp[m] << endl;