相似矩阵与合同矩阵

Posted 2022-12-10 lgxo

目录

• 相似矩阵
• • 定义
  • 性质
  • 定理
  • 推论
• 合同矩阵
• • 定义
  • 性质
  • 推论

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相似矩阵

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定义

设 $A,B$ 都是 $n$ 阶方阵，若存在可逆矩阵 $T$ ，使
$$B=T^{-1}AT$$
则称 $A$ 与 $B$ 相似，称 $A$ 到 $B$ 的这种变换为相似变换，称这个矩阵 $T$ 为相似变换矩阵。

若 $A$ 与一个对角矩阵 $D$ 相似，则称 $A$ 可以相似对角化

性质

• 自反性
• 对称性
• 传递性

定理

若 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A$ 与 $B$ 的特征多项式相同。

推论

• 若 $A$ 与 $B$ 相似，则 $A$ 与 $B$ 的特征值相同。反之未必成立，即两个矩阵的特征值相同，他们不一定相似。
• 若 $A$ 与 $B$ 相似，则 $tr(A)=tr(B)$ ，且 $|A|=|B|$ 。
• 若 $n$ 阶方阵 $A$ 与对角矩阵 $D=diag({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)$ 相似，则 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ 是 $A$ 的 $n$ 个特征值。

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合同矩阵

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定义

给定两个 $n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$ ，如果存在可逆矩阵 $C$ ，使得
$$B=C^{\prime }AC$$
则称 $A$ 与 $B$ 合同。

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性质

• 自反性
• 对称性
• 传递性

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推论

对任一实对称矩阵 $A$ ，存在正交矩阵 $P$ ，使 $P^{-1}AP=P^{\prime }AP=D$ 为对角矩阵，因此，任一实对称矩阵都与对角矩阵合同。

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