随机过程 5 - 非平稳过程
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了随机过程 5 - 非平稳过程相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
非平稳过程
文章目录
1. 问题引入
所谓平稳过程就是某些统计特性不随时间改变。之前介绍了宽平稳随机过程，宽平稳随机过程一般是对一阶矩和二阶矩做出了规定。也就是宽平稳随机过程的均值是个常数，相关只与两个时间的差值有关，不随着时间的变化而变化。
Stationary ⇔ InvarianceWide-Sense: E ( Z ( t ) ) = m E ( Z ( t ) Z ( s ) ) = R Z ( t − s ) \\textStationary \\Leftrightarrow \\textInvariance \\textWide-Sense: \\\\ E(Z(t)) = m \\\\ E(Z(t)Z(s)) = R_Z(t-s) Stationary⇔InvarianceWide-Sense: E(Z(t))=mE(Z(t)Z(s))=RZ(t−s)
平稳性使得我们分析问题变得简单了起来。因为，有了宽平稳的条件之后，我们不仅可以从时域上，从相关层面去分析随机过程，更可以从频域上，在功率谱层面去分析随机过程。
接下来，我们会研究非平稳随机过程。
Non-Stationary Process \\textNon-Stationary Process Non-Stationary Process
平稳的形式可能比较确定，非平稳必然意味着无穷多种的变化，因此，研究非平稳的时候必须指明形式，否则，没有办法具体问题具体分析。
接下来，我们会介绍循环平稳过程和正交增量过程两种非平稳随机过程。循环平稳过程是相关函数具有一定周期性的一种非平稳随机过程，通讯上研究的很多问题都是循环平稳过程，并且循环平稳过程可以通过适当的变换成为宽平稳随机过程。正交增量过程是随机过程不重叠的增量具有正交性的一种随机过程。布朗运动是正交增量过程的一种典例。并且布朗运动通过某些变换，也可以变成宽平稳随机过程，布朗运动在金融问题中，有广泛的应用。
2. 循环平稳过程
2.1 循环平稳过程的定义
Cyclostationary \\textCyclostationary Cyclostationary
循环平稳过程，又叫做周期平稳过程，是在宽平稳的基础上稍加修改得到得到的。因为平稳的时移特性是对任意T存在的，只要把这个时移特性改成对存在T成立即可。
Wide-Sense R Z ( t , s ) = R Z ( t + T , s + T ) ∀ T Cyclostationary R Z ( t , s ) = R Z ( t + T , s + T ) ∃ T ⇒ R Z ( t , s ) = R Z ( t + n T , s + n T ) Period \\textWide-Sense \\\\ R_Z(t,s) = R_Z(t+T,s+T) \\quad \\forall T \\\\ \\textCyclostationary \\\\ R_Z(t,s) = R_Z(t+T,s+T) \\quad \\exist T \\\\ \\Rightarrow R_Z(t,s) = R_Z(t+nT,s+nT) \\quad \\textPeriod Wide-SenseRZ(t,s)=RZ(t+T,s+T)∀TCyclostationaryRZ(t,s)=RZ(t+T,s+T)∃T⇒RZ(t,s)=RZ(t+nT,s+nT)Period
循环平稳过程只在T的倍数点上具有时移不变性，因此，循环平稳过程的相关函数具有周期性，而不具有时移不变性。
2.2 循环平稳过程与宽平稳随机过程的关系
由于循环平稳过程的相关函数与时间是有关的，因此循环平稳过程并不是一种平稳的随机过程。但是，由于循环平稳过程与宽平稳随机过程具有极高的相似性，我们能够找到二者之间的联系，把循环平稳过程变成宽平稳随机过程极进行处理呢?
我们假设有循环平稳过程Z(t)的周期是T。并且有一个均匀分布U，在[0,T]区间上是均匀分布的。并且U与Z是独立的
Z ( t ) ⇒ Cyclo U ∼ U [ 0 , T ] Independent Z(t) \\Rightarrow \\textCyclo \\\\ U \\sim U[0,T] \\quad \\textIndependent Z(t)⇒CycloU∼U[0,T]Independent
则我们可以用Z和U构建一个宽平稳随机过程
Y ( t ) = Z ( t + U ) Y(t) = Z(t+U) Y(t)=Z(t+U)
我们来证明一下Y(t)是一个宽平稳随机过程
R Y ( t , s ) = E ( Y ( t ) Y ( s ) ) = E ( Z ( t + U ) Z ( s + U ) ) R_Y(t,s) = E(Y(t)Y(s)) = E(Z(t+U)Z(s+U)) RY(t,s)=E(Y(t)Y(s))=E(Z(t+U)Z(s+U))
由于这个期望中具有两个随机变量，我们可以使用条件概率的方法，限制住其中一个的随机性，来求另外一个
R Y ( t , s ) = E U ( E Z ( Z ( t + U ) Z ( s + U ) ∣ U ) ) = E ( R Z ( t + U , s + U ) ) = ∫ 0 T R Z ( t + U , s + U ) 1 T d U R_Y(t,s) = E_U(E_Z(Z(t+U)Z(s+U)|U)) \\\\ = E(R_Z(t+U,s+U)) \\\\ = \\int_0^T R_Z(t+U,s+U) \\frac1T dU RY(t,s)=EU(EZ(Z(t+U)Z(s+U)∣U))=E(RZ(t+U,s+U))=∫0TRZ(t+U,s+U)T1dU
因为我们希望找到期望是否只依赖于时间差，所以，我们可以对上面的积分进行换元处理
Let U ′ = U + s Then U = U ′ − s R Y ( t , s ) = 1 T ∫ 0 + s T + s R Z ( t − s + U ′ , U ′ ) d U ′ \\textLet U' = U+s \\\\ \\textThen U = U' - s \\\\ R_Y(t,s) = \\frac1T\\int_0+s^T+s R_Z(t-s +U',U') dU' Let U′=U+sThen U=U′−sRY(t,s)=T1∫0+sT+sRZ(t−s+U′,U′)dU′
由于相关函数具有周期T，因此在一个周期内的积分与起点无关
R Y ( t , s ) = 1 T ∫ 0 T R Z ( t − s + U ′ , U ′ ) d U ′ R_Y(t,s) = \\frac1T\\int_0^T R_Z(t-s +U',U') dU' RY(t,s)=T1∫0TRZ(t−s+U′,U′)dU′
因此，我们就得到了一个只依赖于t-s的相关函数
因此，可以证明，对循环周期过程加一个随机的时间扰动，可以变成宽平稳随机过程。
2.3 条件期望
在刚才公式推导的过程中，用到了条件期望，这里简单介绍一下
Conditional Expectation \\textConditional Expectation Conditional Expectation
2.3.1 定义
条件期望的数学定义式，就是把概率密度函数变成了条件概率密度进行求解
Z , Y E ( Z ∣ Y ) = ∫ − ∞ + ∞ Z f Z ∣ Y ( z ∣ y ) d z E ( Z ∣ Y ) is r.v. Z,Y \\\\ E(Z|Y) = \\int_-\\infty^+\\infty Z f_Z|Y (z|y) dz \\\\ E(Z|Y) \\text is r.v. Z,YE(Z∣Y)=随机过程12 - 泊松过程的推广型