通信中常见的概率分布

Posted 2022-12-07 爱吃猫咪的花酱

几个重要的分布

Gaussian Distribution

1. standard Gaussian distribution
   $$X\sim \mathcal{N}(0,1)$$

   $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$

   $$\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt$$

2. general Gaussian distribution
   $$X\sim \mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$$

   $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

   $$F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{\int }_{-\infty }^x{e}^{-\frac{(t-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}dt$$

3. several functions related to Gaussian distribution

   $Q$函数定义为标准正态分布的右尾函数：
   $$Q(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_x^{\infty }{e}^{-\frac{t^2}{2}}dt=1-\Phi (x)$$
   误差函数 $erf(x)$ 的物理意义是服从均值为$0$, 方差为$\frac{1}{2}$正态分布的随机变量$Y$落在区间$(-x,x)$的概率：
   $$erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{t^2}dt$$
   互补误差函数$erfc(x)$的物理意义即$Y$落在上述区间外的概率：
   $$erfc(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_x^{\infty }{e}^{t^2}dt$$
   显然：
   $$erfc(x)=1-erfc(x)$$

   $$Q(x)=\frac{1}{2}erfc(\frac{x}{\sqrt{2}})$$

Chi-Square Distribution

1. definition

   设 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1, X_2, ..., X_n X1​,X2​,...,X以上是关于通信中常见的概率分布的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

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