正定矩阵和半正定矩阵
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了正定矩阵和半正定矩阵相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
文章目录
- 正定矩阵
- 定义
- 直观解释
- 协方差矩阵是半正定矩阵
正定矩阵
定义
所有的二次齐次都唯一对应一个对称矩阵A，所有的齐次二次式都可以表示为矩阵的形式。
例如：
上式可化为
当不全为0，二次型严格大于0
正定矩阵：当
不是零向量，
，这样的二次型称为正定，对称矩阵
称为正定矩阵。
特别地，欧式度量的平方就是最简单的正定二次型，其正定矩阵是单位矩阵。
半正定矩阵：当
，这样的二次型称为半正定，对称矩阵
直观解释
若给定一个正定矩阵
和一个非零向量
，则两者相乘得到的向量
与向量
的夹角小于
。（等价于
）
例如，给定向量，对于实对称矩阵
，则
。
向量之间的夹角为
即两个向量的夹角小于
协方差矩阵是半正定矩阵
协方差矩阵的定义为
对于任意多元随机向量
，协方差矩阵为
对于，有
其中
由于，所以
，协方差矩阵
是半正定的。
The Matrix Calculus You Need For Deep Learning正定矩阵浅谈「正定矩阵」和「半正定矩阵」
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