一个洗车店引发的思考：给谁发优惠券好呢？

Posted 2022-12-04 Jie Qiao

文章目录

• 一个洗车店的故事
• 解决方案
• 参考文献

注：本文是论文Unit Selection Based on Counterfactual Logic的一个笔记

一个洗车店的故事

从前有个洗车店，洗车能赚140，打算找到一个合适的公司对其发放40元优惠券。

为了决定选哪个公司，我们需要调查每个公司的情况来做出一个收益较高的选择。有两种调查的方法，一种是随机试验ab test，即在一个公司内部，随机选择一部分人发优惠券，另一部分不发，那么就能得到该公司关于优惠券的使用率的差异，从而可以计算出该公司选择发放优惠券的收益。

另一个方法是观察两个平行世界，在世界A发优惠券，在世界B不发，通过比较这两者的收益差异来决定到底选谁。

一个已知的事实是，公司里面总有4类人：

1. Complier: 收到优惠券买，没收到不买$r_a,r_{a^{\prime }}^{\prime }$
2. Always- taker: 收到优惠买，没收到优惠券也买$r_a,r_{a^{\prime }}$，
3. Never- taker: 收到优惠不买，没收到优惠也不买$r_a^{\prime },r_{a^{\prime }}^{\prime }$
4. Defier: 收到优惠不买，没收到优惠就买$r_a^{\prime },r_{a^{\prime }}$

这里A=a表示收到了优惠券，A=a’表示没有收到优惠券，R=r表示使用了该优惠，R=r’表示没用该优惠，C=c表示公司c.

不妨假设这几类人在公司A的占比是（实际是观测不到的）
Complier 30%
Always- taker 10%
Never- taker 20%
Defier 40%
公司B的占比是（实际是观测不到的）
Complier 20%
Always- taker 5%
Never- taker 65%
Defier 10%

于是，通过随机试验ab test, 我们得到以下两组数据，

那么ab test的优化目标是：
$$Ob{j}_1=\arg \underset{c}{\max }100\ast p(r|c,do(a))-100\ast p(r|c,do(a^{\prime }))$$
其中$p(r|c,do(a))$表示给优惠券继续使用的人数，即该目标想要找到一个群体c，其发放优惠券增加的人数最多。但考虑到发了优惠券还购买的人会存在额外的成本，所以我们还可以将其权重设大一点，于是：
$$Ob{j}_2=\arg \underset{c}{\max }100\ast p(r|c,do(a))-140\ast p(r|c,do(a^{\prime }))$$
最后一种就是考虑平行世界的利润差异：

我们分析下
Complier: 在世界A将赚100元，在世界B将赚0元。
Always- taker: 在世界A将赚100元(假设还有20损耗成本，可能有人拿了优惠券感到真香，以后没优惠券就不买了（这只是个假设，暂且接受吧），于是赚80)，在世界B赚140元。
Never- taker: 在世界A将赚0元，在世界B将赚0元。
Defier: 在世界A将赚0元，在世界B将赚140元。

根据这些差异我们可以写出以下目标函数：

$$Ob{j}_3=\arg \underset{c}{\max }100p(r_a,r_{a^{\prime }}^{\prime }|c)+(-60)p(r_a,r_{a^{\prime }}|c)+(0)p(r_a^{\prime },r_{a^{\prime }}^{\prime }|c)+(-140)p(r_a^{\prime },r_{a^{\prime }}|c)$$

最后得到的目标如下：

可以发现目标1，2的结论跟目标3是完全相反的。

我们以$Ob{j}_1$为例子算一算验证一下，首先
$$\begin{gathered} p(r|c=grou{p}_1,do(a))=\frac{262}{262+88} \\ p(r|c=grou{p}_1,do(a^{\prime }))=\frac{175}{175+175} \end{gathered}$$
于是
$$Ob{j}_1=100\ast \frac{262}{262+88}-100\ast \frac{175}{175+175}=24.85714$$
直觉上，平行世界的结果应该是真的，那为什么随机试验会出错呢？

某种程度上，是我们对这个随机试验做了一个分组，这个分组的操作使得公司这一个confounder没有被截断，从而出现了这种问题。而这个问题有趣的地方在于，由于问题的本身setting（判断那个公司更好），这个分组又是不可避免的，所以必然会出现这种情况。

解决方案

这篇论文提出虽然准确的反事实的结果无法得出，但可以根据试验与观测得到的数据给出一个估计区间，我们可以用这个区间的中位数来代替这一反事实估计结果。

这个区间的实验效果如下图所示，

其中$\delta$是下式
argmax ⁡ c β P ( r a , r a ′ ′ ∣ c ) + γ P ( r a , r a ′ ∣ c ) + θ P ( r a ′ , r a ′ ′ ∣ c ) + δ P ( r a ′ , r a ′ ∣ c ) \\operatornameargmax_c \\beta P\\left(r_a, r_a^\\prime^\\prime \\mid c\\right)+\\gamma P\\left(r_a, r_a^\\prime \\mid c\\right)+ \\theta P\\left(r_a^\\prime, r_a^\\prime^\\prime \\mid c\\right)+\\delta P\\left(r_a^\\prime, r_a^\\prime \\mid c\\right) argmaxc​βP(ra​,ra项目记录-上门洗车-汽车服务

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