时间复杂度和空间复杂度的简单记录

Posted 2022-12-03 星仔学习

算法的复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。

时间复杂度：是指执行算法所需要的的计算工作量。

空间复杂度：是指执行算法所需要的内存空间。

算法的复杂度体现在运行该算法时计算机所需要资源的多少，计算机资源最重要的是时间和空间（寄存器）资源，

因此复杂度分为空间和时间复杂度。

计算实际复杂度的方法：

1.用常数1代替运行时间中的所有加法常数

2.修改后的运行次数函数中，只保留最高阶顶

3.去除最该阶项的系数

按数量级递增排序，常见的时间复杂度有：

常数阶o（1）,对数阶o（log2n）,线性o(n),线性对数阶O(nlog2n),平方阶O(n^2)，立方阶O(n^3),…， 

k次方阶O(n^k),指数阶O(2^n)。 随着问题规模n的不断增大，上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

比如说：

sum = n*(n+1)/2;        //时间复杂度O(1)

for(int i = 0; i < n; i++)
    printf("%d ",i);
                       
//时间复杂度O(n)

for(int i = 0; i < n; i++)
    for(int j = 0; j < n; j++)
        printf("%d ",i);
    
               
//时间复杂度O(n^2)

for(int i = 0; i < n; i++)
    for(int j = i; j < n; j++)
        printf("%d ",i);
    
   
//运行次数为(1+n)*n/2
//时间复杂度O(n^2)

int i = 0, n = 100;
while(i < n)
    i = i * 2;

//设执行次数为x. 2^x = n 即x = log2n
//时间复杂度O(log2n)

最坏时间复杂度和平均时间复杂度 
　最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般不特别说明，讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 
　这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的上界，这就保证了算法的运行时间不会比任何更长。 
　平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，算法的期望运行时间。设每种情况的出现的概率为pi,平均时间复杂度则为sum(pi*f(n)) 
　

常用排序算法的时间复杂度

    最差时间分析  平均时间复杂度 稳定度     空间复杂度   
冒泡排序    O(n2)   O(n2)       稳定        O(1)  
快速排序    O(n2)   O(n*log2n)  不稳定  O(log2n)~O(n)     
选择排序    O(n2)   O(n2)       稳定      O(1)    
二叉树排序  O(n2) O(n*log2n)    不稳定     O(n)     
插入排序    O(n2)   O(n2)       稳定      O(1)    
堆排序 O(n*log2n) O(n*log2n)   不稳定     O(1)    
希尔排序    O        O          不稳定     O(1)

空间复杂度 
空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度，记做S(n)=O(f(n))。

对于一个算法来说，空间复杂度和时间复杂度往往是相互影响的。当追求一个较好的时间复杂度时，可能会使空间复杂度的性能变差，即可能导致占用较多的存储空间；反之，当追求一个较好的空间复杂度时，可能会使时间复杂度的性能变差，即可能导致占用较长的运行时间。

有时我们可以用空间来换取时间以达到目的。