为啥破圈法和避圈法为啥不能求一点至另一点的最短距离

Posted 2023-05-10

1.1最小生成树

最小生成树：一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有n个结点，并且有保持图连通的最少的边，如图1.1.1所示。

图1.1.1 最小生成树示意图

设G = (V, E)是无向连通带权图，即一个网络。E中的每一条边（v, w）的权为W(v, w)。如果G的子图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’为G的生成树。生成树上各边权的总和称为生成树的耗费。在G的所有生成树中，耗费最小的生成树称为G的最小生成树。

1.1.1避圈法

避圈法的主要思想就是：开始选一条最小权的边，以后每一步中，总从与已选边不构成圈的那些未选边中，选择一条权最小的（每一步中，如果有两条或两条以上的边都是权值最小的边，则从中任选一条）。避圈法主要分为两种：Prim算法和Kruskal算法，下面分别进行介绍。

1.1.1.1 Prim算法

设G = (V, E)是连通带权图，V = 1,2,…,n。构造G的最小生成树Prim算法的基本思想是：首先置S = 1，然后，只要S是V的真子集，就进行如下的贪心选择：选取满足条件i∈S, j∈V – S，且c[i][j]最小的边，将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到S = V时为止。在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。图1.1.2显示了某一带权图。最小生成树的生成过程如下：

→=

c

13;1

→=

c

36;4

32;5

→=

c

c

→=

25;3

最终得到的最小生成树如图1.1.3所示。

图1.1.2 带权图G

图1.1.3 带权图G的最小生成树示意图

1.1.1.2 Kruskal算法

给定无向连通带权图G = (V, E), V = 1,2,...,n。Kruskal算法构造G的最小生成树的基本思想是：

(1) 将G的n个顶点看成n个孤立的连通分支，并将所有的边按权从小到大排序；

(2) 从第一条边开始，依据每条边的权值递增的顺序检查每一条边，并按照下述方法连接两个不同的连通分支：当查看到第k条边(v, w)时，如果端点v和w分别是当前两个不同的连通分支T1和T2的端点时，就用边(v, w)将T1和T2连接成一个连通分支，然后继续查看第k+1条边；如果端点v和w在当前的同一个连通分支中，就直接查看第k+1条边，这个过程一个进行到只剩下一个连通分支时为止。此时，已构成G的一棵最小生成树。

仍以图1.1.2所示的带权图G为例说明其最小生成树的生成过程，生成过程如下所示：

→=

c

13;1

25;3c →=

36;4c →=

23;5c →=

最终得到的最小生成树和图1.1.3所示是一样的。

1.1.2 破圈法

破圈法可以描述如下：

(1) 如果我们给的连通图G 中没有回路，那么G 本身就是一棵生成树；

(2) 若G 中只有一个回路，则删去G 的回路上的一条边（不删除结点），则产生的图仍是连通的且没有回路，则得到的子图就是图G 的一棵生成树；

(3) 若G 的回路不止一个，只要删去每一个回路上的一条边，直到G 的子图是连通没有回路且与图G 有一样的结点集，那么这个子图就是一棵生成树。

由于我们破坏回路的方法可以不一样，所以可得到不同的生成树，但是在求最小生成树的时候，为了保证求得的生成树的树权最小，那么在删去回路上的边的时候，总是在保证带权图仍连通的前提下删掉权值较大的边，保留权值较小的边。破圈法就是在带权图的回路中找出权值最大的边，将该边去掉，重复这个过程，直到图连通且没有圈为止，保留下来的边所组成的图即为最小生成树。下面仍利用图1.1.2对破圈法进行说明。

首先是去除权值大的边，并且检测去除该边后整个图是否连通，对于图1.1.2来说，即第一步去掉权值为6的边，如图1.1.4所示。

图1.1.4 去掉权值为6的G 的示意图

从图中可以看出，去掉权值为6的边后整个图仍是连通的。所以接下来去除权值为5的边，并且检测去除该边后图是否连通，结果如图1.1.5所示。由图可知，去掉所有权值为5的边会造成图G 不连通，因此23;5c →=这条边是必须保留的。然后再去除权值为4的

边。由于权值为1、2、3、4的边分别连接着独立的节点，故都必须保留，得到的最小生成

图1.1.5 去掉权值为5的G的示意图

树结果与图1.1.3也是一样的。

1.1.3避圈法与破圈法比较

Prim算法是从空图出发，将点进行二分化，从而逐步加边得到最小生成树。它是近似求解算法，虽然对于大多数最小生成树问题都能求得最优解，但相当一部分求得的是近似最优解，具体应用时不一定很方便。但是它可以看作是很多种最小树算法的概括，在理论上有一定的意义。

Kruskal算法也是从空图出发。它是精确算法，即每次都能求得最优解，但对于规模较大的最小生成树问题，求解速度较慢。

破圈法是从图G出发，逐步去边破圈得到最小生成树。它最适合在图上工作，当图较大时，可以几个人同时在各个子图上工作，因此破圈法在实用上是很方便的。

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破圈法vs避圈法
1.1最小生成树

最小生成树：一个有n个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有n个结点，并且有保持图连通的最少的边，如图1.1.1所示。

图1.1.1 最小生成树示意图

设G = (V, E)是无向连通带权图，即一个网络。E中的每一条边（v, w）的权为W(v, w)。如果G的子图G’是一棵包含G的所有顶点的树，则称G’为G的生成树。生成树上各边权的总和称为生成树的耗费。在G的所有生成树中，耗费最小的生成树称为G的最小生成树。

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1.1.1避圈法

避圈法的主要思想就是：开始选一条最小权的边，以后每一步中，总从与已选边不构成圈的那些未选边中，选择一条权最小的（每一步中，如果有两条或两条以上的边都是权值最小的边，则从中任选一条）。避圈法主要分为两种：Prim算法和Kruskal算法，下面分别进行介绍。

1.1.1.1 Prim算法

设G = (V, E)是连通带权图，V = 1,2,…,n。构造G的最小生成树Prim算法的基本思想是：首先置S = 1，然后，只要S是V的真子集，就进行如下的贪心选择：选取满足条件i∈S, j∈V – S，且c[i][j]最小的边，将顶点j添加到S中。这个过程一直进行到S = V时为止。在这个过程中选取到的所有边恰好构成G的一棵最小生成树。图1.1.2显示了某一带权图。最小生成树的生成过程如下： 参考技术A 成树里的避圈法和破圈法请通俗一...展开
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避圈法，从网络图中任意节点开始寻找与该节点关联的权数最小的边，使之与已选边不构成为圈，直到选够n-1条边为止。避圈法则采取先将图中的点都取出来，然后，逐渐向上面添边，并保证后添入的边不与以前添上的边构成圈就可以了，这个过程直到将边集中能加入的边（加入后不够成圈）都加完为止。
破圈法，在网络图中寻找一个圈。若不存在圈，则已经得到最短树或网络不存在最短树；去掉该圈中权数最大的边；反复重复前两步，直到最小树。
破圈法为“见圈破圈”，即如果看到图中有一个圈，就将这个圈的边去掉一条，直至图中再无一圈为止。
扩展资料
无圈且连通的无向图称为树。树一般记为T。作为树定义还可以有以下几种表述：T连通且无圈或回路；T无圈且有n-1条边（如果有n个结点）；T连通有n-1条边；T无回路，但不相邻的两个结点之间联以一边，恰得一个圈。
T连通，但去掉T的任意一条边，T 就不连通了；（亦即在点集合相同的图中，树是含边数最少的连通图）。T的任意两个结点之间恰有一条初等链。
参考资料来源：百度百科-最小树形图问题
参考资料来源：百度百科-破圈法
回答于 2020-11-24
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什么是图论生成树里的避圈法和破圈法 请通俗一点
设图为G=（V,E） 避圈法: 以V上的空图为初始图进行加边操作,依次检查E的边,如果该边加到当前图上不产生圈则将该边加上,否则检查下一条未检查边直至所有边都被检查; 破圈法：以G为初始图进行去边操作,依次检查E的边,如果该边被当前图的某个圈包含则将该边去掉,否则检查下一条未检查边直至所有边都被检查.
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什么是图论生成树里的避圈法和破圈法请通俗一点
避圈法，从网络图中任意节点开始寻找与该节点关联的权数最小的边，使之与已选边不构成为圈，直到选够n-1条边为止。避圈法则采取先将图中的点都取出来，然后，逐渐向上面添边，并保证后添入的边不与以前添上的边构成圈就可以了，这个过程直到将边集中能加入的边（加入后不够成圈）都加完为止。破圈法，在网络图中寻找一个圈。若不存在圈，则已经得到最短树或网络不存在最短树；去掉该圈中权数最大的边；反复重复前两步，直到最小树。破圈法为“见圈破圈”，即如果看到图中有一个圈，就将这个圈的边去掉一条，直至图中再无一圈为止。扩展资料无圈且连通的无向图称为树。树一般记为T。作为树定义还可以有以下几种表述：T连通且无圈或回路；T无圈且有n-1条边（

机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：生成树算法

文章目录

• 前言
• 系列文章
• 2.5 生成树算法
• • 2.5.1 构造生成树的方法
  • • 破圈法
    • 避圈法
  • 2.5.2 最小生成树算法
  • • 定义2.12
    • 最小生成树
    • Kruskal算法
    • 定理2.10
    • Prim算法
    • 定理2.11
• 结语

前言

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