运筹学-图论实例

Posted 书槑

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了运筹学-图论实例相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

图论中一些简单的计算,并用R语言实现。

目录

最短路问题

求连通图任意两点间总权最小的路

Dijkstra算法

对每一个顶点给出一组标号,其中第一位代表从始点到该点最短路权的上界,第二位代表该点的上一个点,第三位是T或P,T表示试探性标号,是一种临时标 号,P表示永久性标号,即这个标号不会改变。标有P的点,其第一位标号即为最短路权。算法的每一步都把某一点的T标号改为P标号,当终点被标上P时,全部计算结束。

以这个图为例,我们要求O到T的最短路:

第一步:
(注意,从O无法一步到达的点,路权标为∞,此时只有A,B,C有路权)

第二步:
比较A,B,C的路权大小,取最小的点A,将T改为P
从A点出发,修改相邻的B,D点的路权

第三步:
发现B的路权小于D,因此将B改为P标号
从B点出发,修改相邻的D,E点的路权
因为从B出发到C的路权为4+1=5,小于从O直接到C的路权,因此C点路权不变,但也改为P标号

第四步:
发现E的路权小于D,因此将E改为P标号
从E点出发,修改相邻的D,T点的路权
D点路权不变(所以第二位不用改),且小于T,改为P标号

第五步:
从D出发,修改相邻T点的路权
T点改为P标号
算法结束

R语言实现

为了将图用编程语言展现,我们需要将图存为邻接矩阵

邻接矩阵中的 a i j a_ij aij表示 v i v_i vi v j v_j vj的路权,若不能一步到达则记为0,若是自己到自己也记为0

将点O,A,B,C,D,E,T分别记为1,2,3,4,5,6,7

library('igraph')
library('magrittr')
a1 = c(0,2,5,4,rep(0,3))  
a2 = c(2,0,2,0,7,0,0)
a3 = c(5,2,0,1,4,3,0)
a4 = c(4,0,1,0,0,4,0)
a5 = c(0,7,4,0,0,1,5)
a6 = c(0,0,3,4,1,0,7)
a7 = c(0,0,0,0,5,7,0)
a = rbind(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7)
g = graph.adjacency(a, mode = c('undirected'), weighted = TRUE)  #生成图,无向,数字为权重,否则当作多重边处理
shortest.paths(g,1,7)   #1到7的最短路

算出的答案为13,即O到T的最短路

还可以顺便看一下最小生成树。
树是指连通且不含圈的无向图,若图的生成子图是一棵树,则称为该图的生成树,其中具有最小权的生成树称为最小生成树。

minimum.spanning.tree(g)  #有权重
minimum.spanning.tree(g, algorithm = 'unweighted')  #无权重

最大流与最小割

最大流问题是指在交通运输网络中使运输量最大化,图上的数字代表运输量限制,例如下图

割集的定义

容量网络G=(V,E,C), v s , v t v_s,v_t vs,vt为发、收点,若有边集E‘为E的子集,满足:G(V,E-E’)不连通;E’’为E的真子集,而G(V,E-E’’)仍联通,则称E’为G的割集,记为E’= ( S , S ) ˉ (S,S\\bar) (S,S)ˉ.
即:将容量网络分为互补的两部分,分别包含发、收点,连通这两部分的边称为割集。

割集的容量

割集 ( S , S ) ˉ (S,S\\bar) (S,S)ˉ中所有始点在 S S S,终点在 S ‾ \\overlineS S的边的容量之和

例如,边集 ( v s , v 1 ) , ( v 1 , v 3 ) , ( v 2 , v 3 ) , ( v 3 , v t ) , ( v 4 , v t ) (v_s,v_1),(v_1,v_3),(v_2,v_3),(v_3,v_t),(v_4,v_t) (vs,v1),(v1,v3),(v2,v3),(v3,vt),(v4,vt)是G的割集,按这些边画一条线,将图分成 S S S S ‾ \\overlineS S,则边集中所有从 S S S指向 S ‾ \\overlineS S的边上的容量才被算作割集的容量(图中已标黄),因此这个割集的容量是9.

最大流-最小割问题

在容量网络中割集是由 v s v_s vs v t v_t vt的必经之路,所以任何一个可行流的流量都不会超过任一割集的容量。因此若能找到一个可行流的流量等于某一割集的容量,则该可行流为最大流,相应的割集为最小割。

以这幅图为例,每条边上的前一个数字表示流量限制,后一个数字表示初始可行流。

R语言实现

v s v_s vs开始输入,同理,自己到自己标为0,无法到达标为0,逆流(如 v 1 v_1 v1 v s v_s vs)也标为0.

library('igraph')
#输入的数字为流量限制
r1 = c(0,5,4,3,rep(0,4))    
r2 = c(rep(0,4),5,3,0,0)
r3 = c(rep(0,5),3,2,0)
r4 = c(rep(0,6),2,0)
r5 = c(0,5,rep(0,5),4)
r6 = c(rep(0,7),3)
r7 = c(rep(0,7),5)
r8 = rep(0,8)
adj = rbind(r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8)
g = graph.adjacency(adj, mode = c('directed'), weighted = TRUE) 
vcount(g)  #顶点数
ecount(g)  #边数
E(g)  #边的方向
E(g)$weight  #表示每条边的最大承载力(流量限制)
flow1 = graph.maxflow(g,1,8,E(g)$weight)  
flow1

结果中cut为割集,value为最大流,flow是具体流量

以上是关于运筹学-图论实例的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

R语言-运筹学指派和运输问题实例

R语言-运筹学虚拟变量运输问题实例

迪杰斯克拉算法是怎样的?

运筹学笔记 运输问题

运筹系列68:Julia的图论包

运筹学的图书目录