Cantor表

Posted 2022-11-30

描述

现代数学的著名证明之一是Georg Cantor证明了有理数是可枚举的。他是用下面这一张表来证明这一命题的： 1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 … 2/1 2/2 2/3 2/4 … 3/1 3/2 3/3 … 4/1 4/2 … 5/1 … … 我们以Z字形给上表的每一项编号。第一项是1/1，然后是1/2，2/1，3/1，2/2，…

输入

输入：整数N（1≤N≤10000000）

输出

输出：表中的第N项

样例输入

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样例输出

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[分析]题目很简单，规律也不难找到。这类题目其实是数学游戏,在编码之前应该先算一算。 用模拟填表的方法也可以，但数学方法更有意思，求解能力也更强。不难看出，第K个斜行（"/"方向）上 每个分数的分子分母之和为K+1,而表的填充顺序正是依次填写每个斜行，因此先算出第N项所在的斜行K。

显然K是满足N<=1+2+3+...+K  (1)的最小数。显然当K为奇数时,分母为N-(1+2+3+..+K-1),K为偶数时分子为N-(1+2+3+..+K-1)。找K显然可以递推，但是没有意思，我们应该锻炼自己的数学能力，解出不等式(1)。不等式同解变形为:(K+1)*K>=N*2,  K*K+K-N*2>=0解不等式，取正数区间，得 K>=(-1+sqrt(1+8*N))/2。例如N=7时K>=(-1+sqrt(1+7*8))/2=3.275故K=4,分子分母之和为K+1=5,因为K是偶数，分子为N-(1+2+3)=1,故分母为5-1=4 
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<cstring>
int main()

  float f;
  int N,n,zi,mu;
  while(~scanf("%d",&N))
  
      f=(-1+sqrt(1+8*N))/2;
      n = (int)f;
      if(f - (float)n != 0)
        n +=1;
       if(n%2 == 0)
      
          zi = N - (n-1)*n/2;
           mu = n+1-zi;
      
   else
     
         zi = n*(n+1)/2 -N + 1;
         mu = n+1-zi;
      
     printf("%d/%d",zi,mu);
  
  return 0;