小航的算法日记算术基本定理

Posted 2022-11-29

目录

• ​​一、概念​​
• ​​二、模板​​
• ​​三、例题​​

• ​​题：507. 完美数​​
• ​​解：​​
• ​​题：263. 丑数​​
• ​​解：​​

详情请看英雄哥的专栏内容，以下为Java版

一、概念

​​对于每个整数 n，都可以唯一分解成素数的乘积​​ 【算术基本定理：任何一个大于 1 的自然数可以分解成一些素数的乘积；并且在不计次序的情况下，这种分解方式是唯一的。】

二、模板

三、例题

题：507. 完美数

对于一个 ​​正整数​​​，如果它和除了它自身以外的所有 ​​正因子​​​ 之和相等，我们称它为 ​​「完美数」​​。

给定一个 整数​​n​​， 如果是完美数，返回 true；否则返回 false。

示例 1：

输入：num = 28
输出：true
解释：28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

1, 2, 4, 7, 和 14 是 28 的所有正因子。
示例 2：

输入：num = 7
输出：true

提示：

1 <= num <= 108

解：

解题思路：​​模拟​​

AC代码：

class Solution 
    public boolean checkPerfectNumber(int num) 
        if(num == 1) return false; // num == 1特例
        int sum = 1;
        for(int i = 2; i *i <= num; i ++) 
            if(num % i == 0) 
                sum += i;
                if(i * i < num) 
                    sum += num / i;
                
            
        
        return sum == num;
    

题：263. 丑数

给你一个整数 n ，请你判断 n 是否为 ​​丑数​​ 。如果是，返回 true ；否则，返回 false 。

丑数 就是只包含质因数 ​​2​​​、​​3​​​ 和/或​​5​​ 的正整数。

示例 1：

输入：n = 6
输出：true
解释：6 = 2 × 3

示例 2：

输入：n = 8
输出：true
解释：8 = 2 × 2 × 2

示例 3：

输入：n = 14
输出：false
解释：14 不是丑数，因为它包含了另外一个质因数 7 。

示例 4：

输入：n = 1
输出：true
解释：1 通常被视为丑数。

提示：

-231 <= n <= 231 - 1

解：

解题思路：

1. 题目输入n还有负值和0，所以先将这些特判
2. 分析得：
   我们只需对n整除2,3,5，看n最终是否为1

AC代码：

class Solution 
    public boolean isUgly(int n) 
        if(n <= 0) return false;
        while(n % 2 == 0) n /= 2;
        while(n % 3 == 0) n /= 3;
        while(n % 5 == 0) n /= 5;
        return n == 1;