仿射空间中几种基本映射的矩阵表述

Posted 2023-05-08

参考技术A

在 用矩阵表述变换与齐次坐标 一文中我们了解了旋转、平移的矩阵表述。在这里，我们试着总结一下仿射空间中其他几种映射的矩阵表述。

为了方便观察，在这里我们仅讨论二维空间中的基本变换。对于每一个变换，我们采取方程组，坐标系图，矩阵分别描述，便于理解。

需要注意，在这里我们只讨论比较常用的“坐标系保持不动，向量绕坐标轴旋转”观点。

对于给定点 ，计算其绕 轴逆时针旋转 后新的坐标 。如下图所示：

由于涉及到角度，我们可以把笛卡尔坐标系转换为极坐标系，设 为极半径。则 点坐标为

相应的， 点坐标为

由方程组(1)、(2)可知， 关于 , 的方程为：

用4x4矩阵可以表述为：

即，三维旋转变换矩阵为：

同样的方法，我们可以得出下面几种常见的旋转变换矩阵：

我们通常讨论物体延一个或多个坐标轴方向的缩放，每一个坐标轴方向都有其单独的缩放因子。

当所有坐标轴方向的缩放因子一样时，此时的缩放叫做 均匀缩放 或 位似变换 。均匀缩放的结果在几何意义上相似于原始物体。

当各坐标轴方向的缩放因子不同时，缩放后结果的形状可能发生变化，此时的缩放被叫做 方向缩放 。

对于给定物体中某一点 ，计算其均匀缩放 ( 时为放大， 时为缩小)后的结果 。

在这里，我们讨论的是三维空间的均匀缩放。但是为了便于观察，我使用了二维平面的均匀缩放的图示。

如图所示，我们已知点 的坐标，则 坐标可表示为

用4x4矩阵表示为

即，三维缩放变换矩阵为：

同样的方法，我们可以得出下面几种常见的缩放变换矩阵（缩放因子 ）：

平移是一种等距同构的变换，它可以被视为某一向量施加于物体每一点的结果。即，设 是已知向量， 为空间中一点，则平移

对同一物体的多次连续平移，其结果可用一次平移表示，它符合向量的加法法则。即

对于给定点 ，计算施加向量 的平移结果 。

同样，为了便于观察，我们使用二维空间的平移图示。如下图：

如图所示，我们已知点 的坐标，则点 坐标可表示为

用4x4矩阵表示为

即平移变换矩阵为

需要注意，这里的反射与渲染阶段的光线“反射”不是同一个概念。这里是指数学意义上的反射。

对于给定点 ，计算其针对 平面的镜像结果。如下图所示：

由上图可以很容易得到， 关于 ， ， 的方程组

用4x4矩阵表示为

即 针对平面 的反射映射矩阵为

同样可以得出以下一些常见的反射变换矩阵

投影是生活中“平行投影”概念的形式化和一般化。例如，在现实生活中，阳光照射物体在地面留下的影子。我们假设阳光是沿着同一方向（平行且垂直于地面的）照射物体，地面是严格的平面。那么，这就是投影最直观的例子。

对于给定点 ，计算其在平面 上的投影点 。如下图：

如上图所示，直线 是直线 在平行于X轴方向上绕Z轴的错切。

此时，点 经过错切的结果点 关于 ， ， 的方程组为

用4x4矩阵表述为

即水平方向（平行于X轴方向）上的错切变换矩阵为

相应的，我们可以算出一下几种常见的错切变换矩阵（ 为错切因子）：

上面我们已经了解了反射空间几种基本变换的矩阵表述。下面我们来重新整理一下，首先看如下适用于列向量的4x4矩阵。

我们可以很容易地发现，对于矩阵A

元素 与线性变换有关；

元素 与仿射变换有关。

那么，元素 有什么作用呢？

其实，这三个元素与透视投影变换有关。用矩阵表述变换是不是非常神奇？

图像处理之_仿射变换与透视变换

参考技术A 旋转 (线性变换)，平移(向量加)．缩放(线性变换)，错切，反转

仿射变换是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，它保持了二维图形的“平直性”（直线经过变换之后依然是直线）和“平行性”（二维图形之间的相对位置关系保持不变，平行线依然是平行线，且直线上点的位置顺序不变）。任意的仿射变换都能表示为乘以一个矩阵(线性变换)，再加上一个向量 (平移) 的形式．

以上公式将点(x,y)映射到(x’,y’)，在OpenCV中通过指定一个2x3矩阵实现此功能（公式中的m矩阵，是线性变换和平移的组合，m11,m12,m21,m22为线性变化参数，m13,m23为平移参数，其最后一行固定为0,0,1，因此，将3x3矩阵简化为2x3）

a) 以原点为中心旋转，2x3矩阵为：
[ cos(theta), -sin(theta), 0 ],
[ sin(theta), cos(theta), 0 ]
则
x’ = x * cos(theta) - sin(theta) * y
y’ = x * sin(theta) + cos(theta) * y
b) 平移，2x3矩阵为
[1,0,tx],
[0,1,ty]
则
x’ = x * 1 + y * 0 + tx = x + tx
y’ = x * 0 + y * 1 + ty = y + ty

在OpenCV中，仿射变换通过函数cvWrapAffine(src,dst,mat)实现，其中mat是2x3的仿射矩阵，该矩阵可以利用函数cvGetAffineTransform(srcTri,dstTri,mat)得到，其中mat是被该函数填充的仿射矩阵，srcTri和dstTri分别是由三个顶点定义的平行四边形（由于是平行四边形，只需要指定三个顶点即可确定），即：给出变换前的ABCD和变换后的A’B’C’D’

将2D矩阵图像变换成3D的空间显示效果，全景拼接．

透视变换是将图片投影到一个新的视平面，也称作投影映射．它是二维（x,y）到三维(X,Y,Z)，再到另一个二维(x’,y’)空间的映射．相对于仿射变换，它提供了更大的灵活性，将一个四边形区域映射到另一个四边形区域（不一定是平行四边形）．它不止是线性变换．但也是通过矩阵乘法实现的，使用的是一个3x3的矩阵，矩阵的前两行与仿射矩阵相同(m11,m12,m13,m21,m22,m23)，也实现了线性变换和平移，第三行用于实现透视变换．

以上公式设变换之前的点是z值为1的点，它三维平面上的值是x,y,1，在二维平面上的投影是x,y，通过矩阵变换成三维中的点X,Y,Z，再通过除以三维中Z轴的值，转换成二维中的点x’,y’.从以上公式可知，仿射变换是透视变换的一种特殊情况．它把二维转到三维，变换后，再转映射回之前的二维空间（而不是另一个二维空间）．

在OpenCV中，透视变换通过函数cvWrapPerspective(src,dst,mat)实现, 与仿射变换不同的是，透视矩阵是一个3x3的矩阵，在计算矩阵时，可利用函数cvGetPerspectiveTransform(srcQuad,dstQuad,mat)，由于不再是平行四边形，需要提供四边形的四个顶点

仿射变换后平行四边形的各边仍操持平行，透视变换结果允许是梯形等四边形，所以仿射变换是透视变换的子集