codeforces 812 E. Sagheer and Apple Tree（树+尼姆博弈）

Posted 2020-09-21 Gealo

题目链接：http://codeforces.com/contest/812/problem/E

题意：有一颗苹果树，这个苹果树所有叶子节点的深度要不全是奇数，要不全是偶数，并且包括根在内的所有节点上都有若干个苹果，现有两个，每个人可以吃掉某个叶子节点上的部分苹果（不能不吃），或者将某个非叶子结点上的部分苹果移向它的孩子（当然也不能不移），吃掉树上最后一个苹果的人获胜。后手可以在游戏开始之前交换任意两个不同的节点的苹果，输出交换后能使得后手胜利的交换总数。

 

题解：这题挺友善的所有叶子结点的深度奇偶性是一样的，首先考虑到叶子结点是奇数步的，显然不论先手怎么操作，后手总是能吃掉这些苹果比较显然不解释了。然后就是偶数步时，先手操作一次偶数步时显然偶数步就会变成奇数步，也就是说移动的这部分苹果肯定是先手吃到的。于是就转换到了裸的尼姆博弈，什么是尼姆博弈不知道的可以去百度一下。于是这题只要将所有偶数步的节点上的苹果异或一下如果结果是0那么后手胜利否则先手胜利。

然后就是怎么处理交换了，如果ans=0（ans表示异或结果）那么只要在偶数步与奇数步中交换相同的数即可，还有就是偶数步中与奇数步中分别自行交换。

如果ans！=0那么只要遍历一遍偶数步的点找奇数点中苹果数为ans^val[i]的个数即可。

#include <iostream>
#include <string>
#include <cstdio>
#include <map>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int M = 1e5 + 10;
map<int , int>num;
vector<int>vc[M];
int ans , val[M] , deep[M] , maxdeep;
void dfs(int u , int pre , int d) {
    int len = vc[u].size();
    deep[u] = d;
    maxdeep = max(maxdeep , d);
    for(int i = 0 ; i < len ; i++) {
        int v = vc[u][i];
        if(v == pre) continue;
        dfs(v , u , d + 1);
    }
}
int main() {
    int n;
    scanf("%d" , &n);
    num.clear();
    for(int i = 0 ; i <= n ; i++) vc[i].clear();
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
        int gg;
        scanf("%d" , &gg);
        val[i] = gg;
        num[gg]++;
    }
    for(int i = 1 ; i < n ; i++) {
        int gg;
        scanf("%d" , &gg);
        vc[gg].push_back(i + 1);
        vc[i + 1].push_back(gg);
    }
    maxdeep = 0;
    dfs(1 , -1 , 1);
    for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
        if((maxdeep % 2) == (deep[i] % 2)) {
            num[val[i]]-- , ans ^= val[i];
        }
    }//这里处理奇数偶数步用了取巧的方法。就是如果奇偶性和最大深度的奇偶性相同那么就必定是偶数点
    ll count = 0;
    if(ans == 0) {
        ll sum = 0;
        for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
            if((maxdeep % 2) == (deep[i] % 2)) {
                count += num[val[i]];
            }
            else sum++;
        }
        count += (sum * (sum - 1) / 2 + (n - sum) * (n - sum - 1) / 2);
    }
    else {
        for(int i = 1 ; i <= n ; i++) {
            if((maxdeep % 2) == (deep[i] % 2)) {
                count += num[(ans ^ val[i])];
            }
        }
    }
    printf("%lld\n" , count);
    return 0;
}