数据结构复习笔记特别系列4 —— 二叉树
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数据结构复习笔记特别系列4 —— 二叉树相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
1.树相关概念
树是一种非线性的数据结构，由n（n>=0）有限个节点组成一个具有层次关系的集合，这里的树是一棵倒挂形状的树。
- 节点的度：一个节点含有子树的个数为该节点的度
- 一颗树的度：树中最大节点的度称为树的度
- 叶子节点：度为0的节点称为叶子节点
- 双亲节点或父节点：一个节点含有子树，则称为这个节点为其子树根节点的父节点
- 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点
- 根节点：一棵树中没有父节点的节点称为根节点
- 节点的层次：从根节点开始定义，根为第一层，跟的子节点为第二层，以此类推。。。
- 树的高度：该节点到叶子结点之间距离
- 树的深度：该节点到这棵树根节点之间的距离
- 非终端节点或分支节点：度- 不为0的节点
- 兄弟节点：具有相同父节点的节点称为兄弟节点 堂兄弟节点：父亲节点在同一层的节点称为堂兄弟节点
- 节点的祖先：从树的根到该节点所经分支上的所有节点
- 节点的子孙：以某个节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙
- 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林
树的表现形式：
树的表现形式有很多，比如双亲表示法、孩子表示法、孩子兄弟表示法等，这里我们简单了解一下孩子兄弟表示法。
class Node
int value; //节点的值
Node child; //孩子节点引用
Node brother; //兄弟节点引用
如图所示，给一棵树，child代表的是孩子节点，brother表示兄弟节点。
2.二叉树基本概念
二叉树是节点的有限结合，集合或者为空，或者由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。
特点：
1.每个结点的度为2；
2.二叉树的子树有左右之分，子树的次序不能颠倒，二叉树是有序树；
3.二叉树基本形态有五种：空树、只有根结点的二叉树、结点只有左子树、结点只有右子树、节点的左右子树都存在。
特殊二叉树：
- 满二叉树：一棵二叉树每一层结点数都达到最大值，这个树就是满二叉树；假设满二叉树的层数为k，该树的结点总数是2^k-1；
- 完全二叉树：完全二叉树效率很高，它是由满二叉树引申出来的，对于深度为k，有n个结点的二叉树，当每一个结点与深度为k的满二叉树结点编号完全对应时，这棵树就称为完全二叉树。满二叉树是特殊的完全二叉树。
二叉树性质此处不再赘述，以前的博客中讲了，这里我们看一道考察二叉树性质的习题：
题目：假设一棵完全二叉树中总共有1000个结点，则该二叉树中有多少个叶子结点？多个个非叶子结点？几个结点只有左孩子？几个结点只有右孩子？
这里我画图解析一下这道题：
3.二叉树的存储
二叉树的存储分为：顺序存储（一般针对于完全二叉树）和类似于链表的链式存储，二叉树的链式存储是通过一个个结点的引用连接起来的。常见的表示方法有二叉和三叉表示方法，我们一般用二叉去表示：
//二叉表示法
class Node
int val; //数据域
Node left; //左孩子引用，一般代表左孩子为根的整棵左子树
Node right; //右孩子引用，一般代表右孩子为根的整棵右子树
4.二叉树遍历
遍历概念：沿着某一条搜索路径，依次对树中的每个结点有且仅做一次访问。如果N代表根结点，L代表根结点的左子树，R代表根结点的右子树，根据根结点遍历的先后顺序，将二叉树遍历分为三种方式：
- 前序遍历NLR：先访问根结点，再访问左子树，再访问右子树
- 中序遍历LNR：先访问根的左子树，再访问根结点，再访问根的右子树
- 后序遍历LRN：先访问根的左子树，再访问根的右子树，再访问根结点
牛刀小试，写出下列这棵完全二叉树的前序遍历、中序遍历以及后序遍历的结果。
前序遍历：ABDEHCFG
中序遍历：DBEHAFCG
后序遍历：DHEBFGCA
5.二叉树习题汇总
二叉树操作习题：
/**
* 二叉树的存储
*/
class BTNode
char val; //结点数值
BTNode left; //结点左孩子引用
BTNode right; //结点右孩子引用
public BTNode(char val)
this.val = val;
/**
* 二叉树操作方法
*/
class BinaryTree
public BTNode createTree()
BTNode A = new BTNode('A');
BTNode B = new BTNode('B');
BTNode C = new BTNode('C');
BTNode D = new BTNode('D');
BTNode E = new BTNode('E');
BTNode F = new BTNode('F');
BTNode G = new BTNode('G');
BTNode H = new BTNode('H');
A.left = B;
A.right = C;
B.left = D;
B.right = E;
E.right = H;
C.left = F;
C.right = G;
return A; //返回根结点A
//前序遍历
public void preOrderTraversal(BTNode root)
if(root == null) return ;
System.out.print(root.val);
inOrderTraversal(root.left);
inOrderTraversal(root.right);
//中序遍历
public void inOrderTraversal(BTNode root)
if(root == null) return ;
inOrderTraversal(root.left);
System.out.print(root.val);
inOrderTraversal(root.right);
//后序遍历
public void posterOrderTraversal(BTNode root)
if(root == null) return ;
posterOrderTraversal(root.left);
posterOrderTraversal(root.right);
System.out.println(root.val);
//遍历思路求结点个数（根据前中后序遍历方式）
static int size = 0;
public void getSize(BTNode root)
if(root == null) return ;
size++;
getSize(root.left);
getSize(root.right);
//子问题思路求结点个数 左树结点个数 + 右树结点个数 + 1
// *重点分析一下递归执行过程
public int getSize1(BTNode root)
if(root == null)
return 0;
return getSize1(root.left) + getSize1(root.right) + 1;
//遍历思路求叶子结点个数
static int leafSize = 0;
public void getLeafSize(BTNode root)
if(root == null) return ;
if(root.left == null && root.right == null)
leafSize++;
getLeafSize(root.left);
getLeafSize(root.right);
//子问题思路求叶子结点个数 *重点关注一下
public int getLeafSize1(BTNode root)
if(root == null) return 0;
if(root.left == null && root.right == null)
return 1;
return getLeafSize1(root.left) + getLeafSize1(root.right) + 1;
//求树的高度
public int height(BTNode root)
if(root == null) return 0;
return Math.max(height(root.left),height(root.right)) + 1;
//时间复杂度O(n)
public int height1(BTNode root)
if(root == null) return 0;
int leftHeight = height(root.left);
int rightHeight = height(root.right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
//求第k层结点个数
public int getKLevelSize(BTNode root, int k)
if(root == null)
return 0;
//k为1表明没有左右子树了，直接返回1
if(k == 1)
return 1;
return getKLevelSize(root.left,k-1) + getKLevelSize(root.right,k-1);
//查找结点 根据遍历方式查找！
public BTNode findNode(BTNode root, int val)
if(root == null)
return null;
if(root.val == val)
return root;
BTNode leftRet = findNode(root.left,val);
if(leftRet != null) return leftRet;
BTNode rightRet = findNode(root.right,val);
if(rightRet != null) return rightRet;
//左边与右边都没找到结点，返回null
return null;
测试用例：
public class TestDemo1
public static void main(String[] args)
BinaryTree binaryTree = new BinaryTree(); //创建BinaryTree对象
BTNode root = binaryTree.createTree(); //构建二叉树
System.out.print("前序遍历:");
binaryTree.preOrderTraversal(root);
System.out.println();
System.out.print("中序遍历:");
binaryTree.inOrderTraversal(root);
System.out.println();
System.out.print("后序遍历:");
binaryTree.posterOrderTraversal(root);
System.out.println();
binaryTree.getSize(root);
System.out.println("遍历思路求结点个数:"+BinaryTree.size); //结点个数
System.out.println("子问题思路求结点个数:"+binaryTree.getSize1(root)); //结点个数
System.out.println("求第三层结点个数:"+binaryTree.getKLevelSize(root,3)); //第三层结点个数为4
System.out.println("树的高度:"+binaryTree.height(root));
//System.out.println(binaryTree.height1(root));
System.out.println("查找结点:"+binaryTree.findNode(root,'F').val); //查找结点
测试用例执行结果：
二叉树基础习题：
1.判断两棵树是不是相同的树
给你两棵二叉树的根节点 p 和 q ，编写一个函数来检验这两棵树是否相同。
如果两个树在结构上相同，并且节点具有相同的值，则认为它们是相同的。
解决思路：子问题思路
先判断根，再递归左子树，然后递归右子树；当两棵树root都为null时，认为这两棵树是相同的；当一棵树root为null而另一棵不为null时，返回false；当两棵树root不为null但是root结点值不相等时返回false；此时对根的判断已经结束，然后递归左子树判断两棵树左子树是否相同，再递归右子树，判断两棵树右子树是否相同，当左右子树都相同时返回true表明两棵树相等，否则返回false表明两棵树不相等。
public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q)
if(p == null && q == null)
return true;
//当p和q有一个为空，另一个不为空时直接返回false
if(p == null && q != null || p != null && q == null)
return false;
//当p与q的值不相等时直接返回false;
if(p.val != q.val)
return false;
//判断左树和右树是否一致
if(isSameTree(p.left,q.left) && isSameTree(p.right,q.right))
return true;
return false;
2.判断一棵树是不是另一棵树的子树
给定两个非空二叉树 s 和 t，检验 s 中是否包含和 t 具有相同结构和节点值的子树。s 的一个子树包括 s 的一个节点和这个节点的所有子孙。s 也可以看做它自身的一棵子树。
思路：先判断两颗树s和t是否有一个为空，如果有返回false，然后判断两棵树是否为相同的树，如果不相等就去递归判断s左子树与t，左子树不相等就去递归判断s右子树和t。
public boolean isSubtree(TreeNode root, TreeNode subRoot)
if(root == null || subRoot == null)
return false;
//先判断t树和s树是不是相等
if(isSameTree(root,subRoot))
return true;
if(isSubtree(root.left,subRoot))
return true;
if(isSubtree(root.right,subRoot))
return true;
return false;
//判断两棵树是不是相同的树
public boolean isSameTree(TreeNode p, TreeNode q)
if(p == null && q == null)
return true;
if(p == null || q == null)
return false;
if(p.val != q.val)
return false;
return isSameTree(p.left,q.left) && isSameTree(p.right,q.right);
3.对称二叉树
给定一个二叉树，检查它是否是镜像对称的。
public boolean isSymmetric(TreeNode root)
if(root == null)
return true;
return isSymmetricChild(root.left, root.right);
//子问题求解
//传入左子树 传入右子树
public boolean isSymmetricChild(TreeNode leftTree, TreeNode rightTree)
if(leftTree == null && rightTree == null)
return true;
if(leftTree == null || rightTree == null)
return false;
if(leftTree.val == rightTree.val)
return isSymmetricChild(leftTree.left, rightTree.right) &&
isSymmetricChild(leftTree.right, rightTree.left);
else
return false;
4.判断一棵树是否为平衡二叉树
给定一个二叉树，判断它是否是高度平衡的二叉树。
本题中，一棵高度平衡二叉树定义为：
一个二叉树每个节点 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1 。
思想：子问题子问题子问题！！！先判断根结点左右子树高度之差是否小于等于1，再递归左子树和右子树。
时间复杂度：O(n平方)
public boolean isBalanced(TreeNode root)
if(root == null) return true;
int leftLength = maxDepth(root.left);
int rightLength = maxDepth(root.right);
//子问题思路，先判断当前结点左右树高度差，再判断左子树和右子树
return Math.abs(leftLength - rightLength) <= 1 &&
isBalanced(root.left) && isBalanced(root.right);
//求二叉树最大高度
public int maxDepth(TreeNode root)
if(root == null)
return 0;
return Math.max(maxDepth(root.left),maxDepth(root.right)) + 1;
时间复杂度：O(n)
核心思想：从下边往上边走，每次判断结点左右子树高度绝对值之差，高度差大于1时直接返回false，小于等于1时继续向上判断。
public int height(TreeNode root)
if(root == null) return 0;
int leftHeight = height以上是关于数据结构复习笔记特别系列4 —— 二叉树的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
leetcode每日一题：（2020-05-10）：236.二叉树的最近公共祖先