799. 香槟塔 : 简单线性 DP 运用题

Posted 2022-11-27

题目描述

这是 LeetCode 上的 ​​799. 香槟塔​​ ，难度为 中等。

Tag : 「动态规划」、「线性 DP」

我们把玻璃杯摆成金字塔的形状，其中 第一层 有 ​​1​​​ 个玻璃杯， 第二层 有 ​​2​​​ 个，依次类推到第 ​​100​​​ 层，每个玻璃杯 (​​250ml​​) 将盛有香槟。

从顶层的第一个玻璃杯开始倾倒一些香槟，当顶层的杯子满了，任何溢出的香槟都会立刻等流量的流向左右两侧的玻璃杯。当左右两边的杯子也满了，就会等流量的流向它们左右两边的杯子，依次类推。（当最底层的玻璃杯满了，香槟会流到地板上）

例如，在倾倒一杯香槟后，最顶层的玻璃杯满了。倾倒了两杯香槟后，第二层的两个玻璃杯各自盛放一半的香槟。在倒三杯香槟后，第二层的香槟满了 - 此时总共有三个满的玻璃杯。在倒第四杯后，第三层中间的玻璃杯盛放了一半的香槟，他两边的玻璃杯各自盛放了四分之一的香槟，如下图所示。

现在当倾倒了非负整数杯香槟后，返回第 i 行 j 个玻璃杯所盛放的香槟占玻璃杯容积的比例（ i 和 j 都从0开始）。

示例 1:

输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 1, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1

输出: 0.00000

解释: 我们在顶层（下标是（0，0））倒了一杯香槟后，没有溢出，因此所有在顶层以下的玻璃杯都是空的。

示例 2:

输入: poured(倾倒香槟总杯数) = 2, query_glass(杯子的位置数) = 1, query_row(行数) = 1

输出: 0.50000

解释: 我们在顶层（下标是（0，0）倒了两杯香槟后，有一杯量的香槟将从顶层溢出，位于（1，0）的玻璃杯和（1，1）的玻璃杯平分了这一杯香槟，所以每个玻璃杯有一半的香槟。

示例 3:

输入: poured = 100000009, query_row = 33, query_glass = 17

输出: 1.00000

提示:

• 
• 

线性 DP

为了方便，我们令 ​​poured​​​ 为 ​​k​​​，​​query_row​​​ 和 ​​query_glass​​​ 分别为 和 。

定义 为第 行第

起始我们有 ，最终答案为 。

不失一般性考虑 能够更新哪些状态：显然当 不足 的时候，不会有水从杯子里溢出，即 将不能更新其他状态；当 大于 时，将会有 的水会等量留到下一行的杯子里，所流向的杯子分别是「第 行第 列的杯子」和「第 行第 列的杯子」，增加流量均为 ，即有 和 。

Java 代码：

class Solution 
    public double champagneTower(int k, int n, int m) 
        double[][] f = new double[n + 10][n + 10];
        f[0][0] = k;
        for (int i = 0; i <= n; i++) 
            for (int j = 0; j <= i; j++) 
                if (f[i][j] <= 1) continue;
                f[i + 1][j] += (f[i][j] - 1) / 2;
                f[i + 1][j + 1] += (f[i][j] - 1) / 2;
            
        
        return Math.min(f[n][m], 1);
    

TypeScript 代码：

function champagneTower(k: number, n: number, m: number): number 
    const f = new Array<Array<number>>()
    for (let i = 0; i < n + 10; i++) f.push(new Array<number>(n + 10).fill(0))
    f[0][0] = k
    for (let i = 0; i <= n; i++) 
        for (let j = 0; j <= i; j++) 
            if (f[i][j] <= 1) continue
            f[i + 1][j] += (f[i][j] - 1) / 2
            f[i + 1][j + 1] += (f[i][j] - 1) / 2
        
    
    return Math.min(f[n][m], 1)

Python3 代码：

class Solution:
    def champagneTower(self, k: int, n: int, m: int) -> float:
        f = [[0] * (n + 10) for _ in range(n + 10)]
        f[0][0] = k
        for i in range(n + 1):
            for j in range(i + 1):
                if f[i][j] <= 1:
                    continue
                f[i + 1][j] += (f[i][j] - 1) / 2
                f[i + 1][j + 1] += (f[i][j] - 1) / 2
        return min(f[n][m], 1)

• 时间复杂度：
• 空间复杂度：

最后

这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 ​​No.799​​ 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。

在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。

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