《Real-Time Rendering》第四版学习笔记——Chapter 4 Transforms
Posted 董小虫
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了《Real-Time Rendering》第四版学习笔记——Chapter 4 Transforms相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
引言
线性变换：保持向量加法和缩放操作：
f
(
x
)
+
f
(
y
)
=
f
(
x
+
y
)
,
k
f
(
x
)
=
f
(
k
x
)
\\mathbf f(\\mathbf x)+\\mathbf f(\\mathbf y)=\\mathbff(\\mathbf x+\\mathbf y),\\\\ k\\mathbf f(\\mathbf x)=\\mathbf f(k\\mathbf x)
f(x)+f(y)=f(x+y),kf(x)=f(kx)
旋转和缩放变换都是对三维向量的线性变换，可以表示为 3 × 3 3\\times3 3×3矩阵。
平移变换是对一个向量执行加上另一个向量的操作； 3 × 3 3\\times3 3×3矩阵无法满足移动变换的表示。
仿射变换（affine transform）通过 4 × 4 4\\times4 4×4矩阵将平移变换与旋转、缩放变换结合起来。使用齐次（homogeneous）标记来表示思维向量：
- 方向向量： v = ( v x v y v z 0 ) T \\mathbf v=(v_x\\quad v_y\\quad v_z\\quad 0)^T v=(vxvyvz0)T；
- 点： v = ( v x v y v z 1 ) T \\mathbf v=(v_x\\quad v_y\\quad v_z\\quad 1)^T v=(vxvyvz1)T；
平移、旋转、缩放、反射、切变矩阵都是放射矩阵。仿射矩阵点特点就是保持线的平行性，但不保持长度和角度。仿射变换也可以表示为任意单独的仿射变换的串联。
一、基础变换
下表是大部分基础变换的汇总：
标记 名称 特点 T ( t ) 平 移 矩 阵 移 动 一 个 点 ， 仿 射 R x ( ρ ) 旋 转 矩 阵 围 绕 x 轴 旋 转 ρ 弧 度 。 正 交 、 仿 射 S ( s ) 缩 放 矩 阵 根 据 s 沿 着 个 坐 标 轴 缩 放 。 仿 射 H i j ( s ) 切 变 矩 阵 将 i 分 量 进 行 为 s 倍 数 的 依 据 j 分 量 的 切 变 操 作 。 仿 射 E ( h , p , r ) 欧 拉 变 换 以 欧 拉 角 形 式 表 示 的 指 向 矩 阵 。 正 交 、 仿 射 P o ( s ) 正 交 投 影 向 平 面 或 空 间 内 进 行 平 行 投 影 。 仿 射 P p ( s ) 透 视 投 影 向 平 面 或 空 间 内 进 行 符 合 透 视 规 则 的 投 影 s l e r p ( q ^ , r ^ , t ) 球 面 线 性 插 值 根 据 四 元 数 q ^ 和 r ^ 以 及 参 数 t 来 创 建 插 值 的 四 元 数 \\beginarrayc|c|c \\textbf标记 & \\textbf名称 & \\textbf特点 \\\\ \\hline \\mathbf T(\\mathbf t) & 平移矩阵 & 移动一个点，仿射 \\\\ \\mathbf R_x(\\rho) & 旋转矩阵 & 围绕x轴旋转\\rho弧度。正交、仿射 \\\\ \\mathbf S(\\mathbf s) & 缩放矩阵 & 根据\\mathbf s 沿着个坐标轴缩放。仿射 \\\\ \\mathbf H_ij(s) & 切变矩阵 & 将i 分量进行为s倍数的依据j分量的切变操作。 仿射 \\\\ \\mathbf E(h,p,r) & 欧拉变换 & 以欧拉角形式表示的指向矩阵。正交、仿射\\\\ \\mathbf P_o(s) & 正交投影 & 向平面或空间内进行平行投影。仿射\\\\ \\mathbf P_p(s) & 透视投影 & 向平面或空间内进行符合透视规则的投影\\\\ \\mathrmslerp(\\mathbf\\hat q,\\mathbf\\hat r,t) & 球面线性插值 & 根据四元数\\mathbf\\hat q和\\mathbf\\hat r以及参数t来创建插值的四元数 \\endarray 标记T(t)Rx(ρ)S(s)Hij(s)E(h,p,r)Po(s)Pp(s)slerp(q^,r^,t)名称平移矩阵旋转矩阵缩放矩阵切变矩阵欧拉变换正交投影透视投影球面线性插值特点移动一个点，仿射围绕x轴旋转ρ弧度。正交、仿射根据s沿着个坐标轴缩放。仿射将i分量进行为s倍数的依据j分量的切变操作。仿射以欧拉角形式表示的指向矩阵。正交、仿射向平面或空间内进行平行投影。仿射向平面或空间内进行符合透视规则的投影根据四元数q^和r^以及参数t来创建插值的四元数
1.1 平移
将一个实体沿着向量
v
=
(
t
x
,
t
y
,
t
z
)
\\mathbf v=(t_x,t_y,t_z)
v=(tx,ty,tz)平移的变换矩阵可以表示为：
T
(
t
)
=
T
(
t
x
,
t
y
,
t
z
)
=
(
1
0
0
t
x
0
1
0
t
y
0
0
1
t
z
0
0
0
1
)
\\mathbf T(\\mathbf t) = \\mathbf T(t_x,t_y,t_z) = \\beginpmatrix1 & 0 & 0 & t_x\\\\ 0 & 1 & 0 & t_y\\\\ 0 & 0 & 1 & t_z\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\endpmatrix
T(t)=T(tx,ty,tz)=⎝⎜⎜⎛100001000010txtytz1⎠⎟⎟⎞
需要注意的是，平移变换对向量
v
=
(
v
x
,
v
y
,
v
z
,
0
)
\\mathbf v=(v_x,v_y,v_z,0)
v=(vx,vy,vz以上是关于《Real-Time Rendering》第四版学习笔记——Chapter 4 Transforms的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
《Real-Time Rendering》第四版学习笔记——Chapter 4 Transforms
《Real-Time Rendering》第四版学习笔记——Chapter 9 Physically Based Shading
《Real-Time Rendering》第四版学习笔记——Chapter 9 Physically Based Shading
《Real-Time Rendering》第四版学习笔记——Chapter 4 Transforms
《Real-Time Rendering》第四版学习笔记——Chapter 4 Transforms
《Real-Time Rendering》第四版学习笔记——Chapter 2 The Graphics Rendering Pipeline