找出1~n之间的所有素数

Posted 2022-11-21 黄飞_hf

根据概念判断

在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数称为质数。

    private static void findPrimes(int n)
        if(n < 2)
            return;
        System.out.print(2 + " ");
        for (int i = 3; i <= n; i += 2) //去除大于2的偶数
            boolean isPrime = true;
            for (int j = 2; j < i; j++) 
                if(i % j == 0)
                    isPrime = false;
                    break;
                
            
            if(isPrime)
                System.out.print(i + " ");
        
    

算法的时间复杂度是O(N*N)

经典算法

给定一个正整数n，用2到sqrt(n)之间的所有整数去除n，如果可以整除，则n不是素数，如果不可以整除，则n就是素数。

定理: 如果n不是素数, 则n有满足1< d<=sqrt(n)的一个因子d.
证明: 如果n不是素数, 则根据定义n必有一个因子d满足1< d< n。如果d大于等于sqrt(n), 则n/d是满足1< n/d<=sqrt(n)的另一个因子。

    private static void findPrimes2(int n)
        if(n < 2)
            return;
        System.out.print(2 + " ");
        for (int i = 3; i <= n; i += 2) 
            boolean isPrime = true;
            for (int j = 2; j * j <= i; j++) 
                if(i % j == 0)
                    isPrime = false;
                    break;
                
            
            if(isPrime)
                System.out.print(i + " ");
        
    

算法的时间复杂度是O(N*sqrt(N))，求解规模较小的输入，尚且没有问题。但对于规模较大的N，算法就力不从心了。

厄拉多塞筛算法

厄拉多塞筛（sieve of Eratosthenes），它在求解时具有相当高的效率，但是要牺牲较多的空间。

这个程序的目标是，若i为素数，则设置sieves[i] = false；如果不是素数，则设置为true。首先，将所有的数组元素设为false，表示没有已知的非素数。然后将已知为非素数（即为已知素数的倍数）的索引对应的数组元素设置为true。如果将所有较小素数的倍数都设置为true之后，sieves[i]仍然保持为false，则可判断它是所找的素数。

    private static void findPrimes3(int n)
        if(n < 2)
            return;

        System.out.print(2 + " ");
        boolean[] sieves = new boolean[n + 1];
        //当要筛选的数的平方大于n时，那么后面没有划去的数都是素数，就不用继续判了
        for (int i = 3; i * i <= n; i += 2) 
            if(!sieves[i])
                for (int j = i * i; j <= n; j += i) 
                    sieves[j] = true;
                
        

        for (int i = 3; i <= n; i += 2) 
            if(!sieves[i])
                System.out.print(i + " ");
        
    

算法的时间复杂度是O(NloglogN)

如何理解厄拉多塞筛算法呢？
我们一定记得小学时候就学过的素数和合数的性质：任何一个合数一定可以表示成若干个素数之积。如：4 = 2 * 2，6 = 2 * 3，12 = 2 * 2 * 3。也就是说，合数N一定是小于N的某个（或若干）素数的整数倍,反之，如果N不是任何比它小的素数的倍数，则N必然是素数。

厄拉多塞筛选法介绍——维基百科