详解支持向量机-支持向量机分类器原理菜菜的sklearn课堂笔记

Posted 2022-11-19

支持向量机是如何工作的

支持向量机所作的事情其实非常容易理解。先来看看下面这一组数据的分布，这是一组两种标签的数据，两种标签分别由圆和方块代表。支持向量机的分类方法，是在这组分布中找出一个超平面作为决策边界，使模型在数据上的分类误差尽量接近于小，尤其是在未知数据集上的分类误差（泛化误差）尽量小。

决策边界一侧的所有点在分类为属于一个类，而另一侧的所有点分类属于另一个类。如果我们能够找出决策边界，分类问题就可以变成探讨每个样本对于决策边界而言的相对位置。比如上面的数据分布，我们很容易就可以在方块和圆的中间画出一条线，并让所有落在直线左边的样本被分类为方块，在直线右边的样本被分类为圆。如果把数据当作我们的训练集，只要直线的一边只有一种类型的数据，就没有分类错误，我们的训练误差就会为0。 但是，对于一个数据集来说，让训练误差为0的决策边界可以有无数条。

但在此基础上，我们无法保证这条决策边界在未知数据集（测试集）上的表现也会优秀。对于现有的数据集来说，我们有$B_1$和$B_2$两条可能的决策边界

我们可以把决策边界$B_1$向两边平移，直到碰到离这条决策边界最近的方块和圆圈后停下，形成了两个新的超平面，分别是$b_11$和$b_12$，并且我们将原始的决策边界移动到$b_11$和$b_12$的中间，确保$B_1$到$b_11$和$b_12$的距离相等。在$b_11$和$b_12$中间的位置，叫做$B_1$这条决策边界的边际，通常记作$d$

对$B_2$也执行同样的操作，然后我们来对比一下两个决策边界。现在两条决策边界右边的数据都被判断为圆，左边的数据都被判断为方块，两条决策边界在现在的数据集上的训练误差都是0，没有一个样本被分错。 我们引入和原本的数据集相同分布的测试样本（红色所示），平面中的样本变多了，此时我们可以发现，对于$B_1$而言，依然没有一个样本被分错，这条决策边界上的泛化误差也是0。但是对于$B_2$而言，却有三个方块被误人类成了圆，二有两个圆被误分类成了方块，这条决策边界上的泛化误差就远远大于$B_1$了。这个例子表现出，拥有更大边际的决策边界在分类中的泛化误差更小，这一点可以由结构风险最小化定律来证明（SRM）。如果边际很小，则任何轻微扰动都会对决策边界的分类产生很大的影响。边际很小的情况，是一种模型在训练集上表现很好，却在测试集上表现糟糕的情况，所以会“过拟合”。所以我们在找寻决策边界的时候，希望边际越大越好。

支持向量机，就是通过找出边际最大的决策边界，来对数据进行分类的分类器。也因此，支持向量分类器又叫做最大边际分类器。这个过程在二维平面中看起来十分简单，但将上述过程使用数学表达出来，就不是一件简单的事情了。

支持向量机原理的三层理解

目标是"找出边际最大的决策边界"，听起来是一个十分熟悉的表达，这是一个最优化问题，而最优化问题往往和损失函数联系在一起。和逻辑回归中的过程一样，SVM也是通过最小化损失函数来求解一个用于后续模型使用的重要信息：决策边界。

sklearn中的支持向量机