C++不知算法系列之集结常规算法思想

Posted 2022-11-18

1. 前言

数据结构和算法是程序的 2 大基础结构，如果说数据是程序的汽油，算法则就是程序的发动机。

什么是数据结构？

指数据之间的逻辑关系以及在计算机中的存储方式，数据的存储方式会影响到获取数据的便利性。

现实生活中，如果把春夏秋冬的衣物全部堆放在一起，当需要某一季节的衣服时，寻找起来是困难的。如果分门别类、有条理地存放，则寻找起来会方便很多。同理，编写程序时，如果对程序所依赖的数据有条理、易于查找的方式进行存储，则在处理数据时，可以提升程序的整体性能。

数据结构准确说是一个空间管理概念，同样的数据使用不同的数据结构时，对程序会有空间度上的影响。

什么是算法？

算法是解决问题的思路或流程，算法与具体的计算机语言无关，但算法一定能通过计算机语言实现。

理解算法，可以从 2 个角度：

• 广义角度： 算法是指处理数据时，使用的解决思路。只要能达到数据处理目的，任一解决思路都可认为是算法，也就是说程序中无处不算法。
• 狭义角度： 对各种解决问题的经验和思路进行总结、归纳，形成算法体系或算法思想。

算法与数据结构的关系？

算法不应该仅针对于特定的数据结构，应该针对特定类型的问题。算法是思路，数据结构是算法实施对象。设计优秀的数据结构对算法的性能会有质的提升。

算法的特性：

• 有穷性：算法必须能在有限时间内完成。
• 确定性：对相同的输入必须得到相同的结果。
• 可行性：即算法应该可以通过具体的语言得以实现。
• 输入：一个算法可以有0个或多个输入。
• 输出：算法必须有结果，也就是必须有一个或多个输出。

算法的描述：

• 自然语言。因受限于语言的岐义性，自然语言描述算法同样会出现如此问题。
• 流程图。使用标准的图形化语言描述，易于理解和交流。
• 使用计算机语言。算法的最终归缩。

算法性能分析：

可以使用时间复杂度和空间复杂度评价算法的性能高低。2 者均通过大O表示描述，大 O 时间复杂度实际上不具体表示真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长变化的趋势。所以也叫渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

时间复杂度：指算法需要消耗的时间资源。使用大O法计算时间复杂度的原则：

• 只关注循环执行次数最多的一段代码，省去最高阶项前面的常量、低阶、系数。
• 如果运行时间是常数量级，则用常数1表示。
• 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度。分析每一部分时间复杂度，取量级最大的作为整段代码复杂度。
• 乘法法则：嵌套代码复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积。

常见时间复杂度：

空间复杂度： 空间复杂度也称渐进空间复杂度，表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系，算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。

常见的空间复杂度：

• 常量空间：当算法的存储空间大小固定，和输入规模没有直接的关系时，空间复杂度记作O(1)。

• 线性空间：当算法分配的空间是一个线性的集合（如数组），并且集合大小和输入规模n成正比时，空间复杂度记作O(n)。

• 二维空间：当算法分配的空间是一个二维数组集合，并且集合的长度和宽度都与输入规模n成正比时，空间复杂度记作O(n^2)

• 递归空间：计算机在执行递归程序时，会专门分配一块内存，用来存储“方法调用栈”执行递归操作所需要的内存空间和递归的深度成正比。如果递归的深度是n，那么空间复杂度就是O(n)。纯粹的递归操作的空间复杂度也是线性的。

2. 常见算法思想

2.1 穷举算法思想

穷举算法也称为枚举算法或暴力法，是一种原始算法。

什么是原始算法?

要了解原始算法的概念，就需要理解计算机的思维模式。

计算机本质是一台无意识、无经验、无知识积累的冰冷机器，它仅有基本的运算能力和判断能力。当然它还有一个人类无法比拟的强项，运算速度非常快。

人类思维和计算机思维的区别

比如，请找出数列[1,2,3,4,5]中哪 2 个数字相加等于 5。人类思维是直观性学习思维，可以直接给出答案，计算机不行。

计算机采用的是基本运算加判断的方案。先把1和2相加然后判断，如果不是，继续 把1和 3相加再判断……

这种思维我们称为穷举思维或暴力思维。

#include <iostream>
using namespace std;
int main(int argc, char** argv) 
	int	nums[] = 1, 2, 3, 4, 5;
	for(int i=0; i<5; i++) 
		for(int j=0; j<5; j++) 
			if (nums[i] != nums[j] && (nums[i] + nums[j] )== 5) 
				cout<<nums[i]<<"+"<<nums[j]<<"="<<nums[i] + nums[j]<<endl;
			
		
	
	return 0;

当数列中的数字很少的时候，人类的思维有优势，当数据量很大的时候，计算机虽然采用的是笨拙的穷举思维，但是，因处理速度快，反而要远远快于人类计算出来。

本质上讲，计算机是无思维的，或者说计算机只会穷举，所以说，算法的本质都是引导性的。

穷法算法的思想：在一个指定的数据范围之内，通过不停地判断直到查找到正确的答案。

现根据穷举算法的思路解决一个数学中常见的猜数字题目。

如下图，每一个中文汉字表示一个数字，请找出每一个汉字所对应的数字。

穷举流程：

• 确定数字范围： 如果要让整个表达式有意义，则我和程字所对应的数字不能是 0。所以我和程字的数字范围应该是 1~9之间，其它的数字范围可以是 0~9之间。
• 初始每一个汉字所对应的数字， 然后套用表达式进行计算，如果计算结果符合要求，则宣布查找到，否则，更改每一个汉字所对应的数字。

编写实现：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main(int argc, char** argv) 
// 为 我很爱编程 中的每一个汉字初始数字起始边界
	int wo = 1;
	int hen = 0;
	int ai = 0;
	int bian = 1;
	int chen = 1;
	int count = 0;
	int  result = 0;
	int num1=0;
	for (wo=1; wo<10; wo++ ) 
		for (hen=0; hen<10; hen++ ) 
			for (ai=0; ai<10; ai++ ) 
				for (bian=1; bian<10; bian++ ) 
					for (chen=1; chen<10; chen++ ) 
						result = chen * pow(10, 5) + chen * pow(10, 4) + chen * pow(10, 3) + chen * pow(10, 2) + chen * pow(10, 1) + chen;
						num1 = wo * pow(10, 4) + hen * pow(10, 3) + ai * pow(10, 2) + bian * pow(10, 1) + chen;
						count += 1;
						if (num1 * wo == result) 
							cout<<wo<<hen<<ai<<bian<<chen<<endl;
							cout<<count<<endl;
							break;
						
					
				
			
		
	
	return 0;

//输出结果：79635

上述代码为典型的穷举算法，代码中添加了一个计数器，用来统计最终计算多少次，仅为了观察。

穷举算法的结构有一个较大的特点，往往会出现循环语法结构层层嵌套。

在此基础上思考，是否存在优化方案，可以减少循环次数。

题目中还有一个隐式条件，我很爱编程中的每一个汉字所对应的数字不能相同。可以把这条件加入到上述代码中。

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
int main(int argc, char** argv) 
// 为 我很爱编程 中的每一个汉字初始数字起始边界
	int wo = 1;
	int hen = 0;
	int ai = 0;
	int bian = 1;
	int chen = 1;
	int count = 0;
	int  result = 0;
	int num1=0;
	for (wo=1; wo<10; wo++ ) 
		for (hen=0; hen<10; hen++ ) 
			if (hen == wo)
				continue;
				for (ai=0; ai<10; ai++ ) 
					if (ai == hen or ai == wo)
						continue;
						for (bian=1; bian<10; bian++ ) 
							if (bian == ai or bian == hen or bian == wo)
								continue;
								for (chen=1; chen<10; chen++ ) 
									if (chen == bian or chen == ai or chen == hen or chen == wo)
										continue;
										result = chen * pow(10, 5) + chen * pow(10, 4) + chen * pow(10, 3) + chen * pow(10, 2) + chen * pow(
										             10, 1) + chen;
									num1 = wo * pow(10, 4) + hen * pow(10, 3) + ai * pow(10, 2) + bian * pow(10, 1) + chen;
									count += 1;
									if (num1 * wo == result) 
										cout<<wo<<hen<<ai<<bian<<chen<<endl;
										cout<<count<<endl;
										break;
									
								
						
				
		
	
	return 0;

从 2 次代码的运行结果可知，循环次数减少了 43763次。虽然减少了循环次数，因没有从本质上改变算法结构，所以说还是最原始的穷举算法思路。

2.2 试探算法

试探算法本质是穷举算法，试探表现在，问题中没有明确的求解范围，需要通过试探方式确定范围。

如下面的问题描述：

A、B、C、D、E五个人在某天夜里合伙去捕鱼，到第二天凌晨时都疲惫不堪，于是各自找地方睡觉。日上三杆，A第一个醒来，他将鱼分为五份，把多余的一条鱼扔掉，拿走自己的一份。B第二个醒来，也将鱼分为五份，把多余的一条鱼扔掉，保持走自己的一份。C、D、E依次醒来，也按同样的方法拿走鱼。问他们合伙至少捕了多少条鱼？

问题分析：

• 假设一共捕获了 n 条鱼。除了可以确定 n 一定是正整数外， 其范围是不知的。但是，根据问题描述可知 n-1是 5 的倍数。这是本题的基础过滤条件。
• A拿走鱼后，B所看到的鱼的数量应该是 n=(n-1)-(n-1)/5。 更新 n后，n-1的值同样是 5 的倍数。
• 如此一至到 E，n的值还是满足 n-1是 5 的倍数。也就是一个数字经过 5 次分割时，减一后都是 5 的倍数。
• 可以根据知识思维，判断出 n 最小值是 6。穷举时，从 6开始一至向上查找，向上的界限是多少，这里就需要试探。

#include <iostream>

using namespace std;
int main(int argc, char** argv) 
    //初始试探的上限为 1000
	int upNum=1000;
    //是否继续试探
	bool isCon=true;
	while(isCon) 
        //试探的下限从 6 开始
		for (int i=6; i<upNum; i++) 
			int n=i;
			int j=0;
             //检查 n 是否经过 5 次分割后数字还是满足要求
			for(; j<5; j++) 
				if (  (n-1) % 5==0    ) 
                      //分
					n= (n-1) - (n-1) / 5;
				 else 
					break;
				
			
			if(j==5) 
                 // n 中的数字满足问题描述
				cout<<i;
                  //不需要再继续试探
				isCon=false;
				break;
			
		
        //试探的步长值为 1000 
		upNum+=1000;
	
	return 0;

输出结果：

会不会出现无限试探，如果出现这个问题只有 2 种可能：

• 算法设计有问题。
• 问题描述本身无解。

2.3 递推算法思想

计算机的思维本质是穷举。但是，人的思维是知识性、探索性思维，可以在解决问题时，发现问题中的规律，并通过计算机语言告诉计算机，这样可以在计算时绕过一些不必要的计算。

什么是递推算法？

简单讲，不断地利用已知信息推导出最终结果。显然，已知信息和最终结果数据之间一定要存在某些内在联系或规律。

递推算法又分为顺推法和逆推法。

• 顺推法： 从已知条件出发，逐步推算出所需要的结果。

• 逆推法： 从已知的结果出发，用迭代式逐步推算出问题开始，逆推法的本质就是逆向思维。

如下通过案例分别介绍顺推法和逆推法。

2.3.1 顺推算法

问题描述：斐波拉契数列

数列[1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……]就是一个符合斐波拉契关系的数列。

斐波拉契数列特点：

• 数列中的第 1、2 位置的数字是 1 ，这是已知信息。
• 从第 3 个位置开始，其值为前面 2 个数字相加的结果。 知道了第 3 个位置的值，也将知道第 4 个位值，依此类推，可以求解出任何位置的数字。

#include <iostream>
using namespace std;
int main(int argc, char** argv) 
	int num1 = 1;
	int num2 = 1;
	int num3=0;
	for (int i=0; i<12; i++) 
		// 推导出第 3 个位置的数字
		num3 = num1 + num2;
		cout<<num3<<"\\t";
		// 为计算后续数据做准备
		num1 = num2;
		num2 = num3;
	
	return 0;

求解斐波拉契数列的方案就是典型的顺推思维。

如有数列[1,4,10,22,46……]，分析数列中前面几个数字的规律，输出数列的前 20 个数字。分析后可发现第 1 个位置的数字 1是已知信息，从第 2 个位置开始，其值和前一个值符合2*x+2的线性规律，所以也可以递推算法求解。

2.3.2 逆推算法

下面通几个案例讲解逆推算法的基本思想。

猴子吃桃问题：

有一只猴子，第 1 天摘了若干桃子，吃了桃子的一半后又吃了一个，第 2 天也是吃了桃子一半后再吃了一个……如此类推，到第 10 天时，还剩余 1 只桃子。请问猴子第 1 天摘了多少只桃子。

分析：

• 可以使用逆推算法，也就是我们经常讲的逆向思维解决猴子吃桃问题。
• 第 10 天还剩余 1 只桃子，可以看成是已知信息，已知信息属于结果信息。
• 求解第 1 天的桃子总量，需求解的是开始问题。

找出数据之间的关系：

• 第 10 有 1 个桃子，第 10 天的这 1 个桃子是取第 9 天桃子的一半减一个剩余的。
• 前一天的桃子除以 2 减 1 等于后 1 天的桃子，或者说，前 1 天的桃子等于（后 1 天的桃子加 1）乘以 2。

有了数列之间的关系，编码就很容易了。

#include <iostream>
using namespace std;
int main(int argc, char** argv) 
// 第 10 天的桃子数，也是已知条件
	int num = 1;
	for(int i=0; i<9; i++) 
		// 向第 1 天推进
		num = (num + 1) * 2;
	
	cout<<num;
	return 0;

**类似的问题还有很多：**如猜年龄问题。

有 5 个小孩子，问第 1 个小孩子的年龄是多少？他说他是第 2 个小孩子的年龄加 2 岁。

问第 2 个小孩子的年龄时，他说他是第3个小孩子的年龄加2岁。

问第3个小孩子的年龄时，他说他是第 4个小孩子年龄加2 岁。

问第 4 个小孩子年龄时，他说他是第 5 个小孩子的年龄加2 岁。

问第 5个小孩子的年龄时，他说他的年龄是6岁，求解每一个小孩子的年龄。

这个问题也是典型的逆推问题。第 5 个小孩子的年龄是已知的，而且知道与前一个小孩子年龄的关系前一个小孩子的年龄=后一个小孩子年龄+2。满足数学上的线性函数关系。

一层层回推就能计算出第 1 个小孩子的年龄是：14岁。

#include <iostream>
using namespace std;
int main(int argc, char** argv) 
int age = 6;
for(int i=4;i>0;i--)
	age = age + 2;

cout<<age;
return 0;

上述问题虽然简单，但能很好地描述递推算法的思想。

2.4 递归算法

具体解决问题时，总是一种算法借鉴另一种算法，或一个算法中融入另一种算法。算法之间互相交织、迭代而诞生出新的算法。

前文所说，穷举才是计算机的本质，其它算法无非是通过分析问题、发现规律、减少算法的实施过程中的次数。

什么是递归算法？

通过不停调用函数本身从而达到解决问题的目地。

现实生活中经常会遇到的问题，我要找到小王的电话号码，可以帮助理解递归过程。

想知道朋友小王的电话号码，先找到朋友小李，小李说他也没有，但是他会帮问问小张,小张说他也没有，他会问问小胡，小胡说他知道。

这里面包括 2 条线。

• 递进线： 我-（问）->小李-(问)->小张-（问）->小胡(结果)。
• 回溯线： 小胡-(结果)->小张-(结果)->小李-(结果)->我。

递归算法的特点：

• 通过递进线寻求帮助。递推线的最终必须有能得到帮助的时候（如最后小胡知道小王的电话号码），否则会成为死结。表现在编码实施过程中需要有调用终止的时候。
• 通过回溯线求解出原始问题。

前面的斐波拉契数列也可以使用递归算法解决。比如说，想知道在第 12 位置的数字是多少。

• 递进线： 求数列第 12位置的值，求助于第 11位置的值，然后再求助于第 10的值， 一至求助到第 1,2位置。
• 回溯线： 通过回溯求解出原始问题。

#include <iostream>
using namespace std;
int fb (int pos) 
	if (pos == 1 || pos == 2)
		// 求助的终点
		return 1;
	// 求助
	return fb(pos - 1) + fb(pos - 2);

int main(int argc, char** argv) 
	int res = fb(12);
	cout<<res;
	return 0;

求解年龄的问题也可以使用递归算法实现。

int get_age(int number) 
	if (number == 5)
		return 6;
	return get_age(number + 1) + 2;

递归算法可以用于 2 类问题的求解：

• 替代循环语法结构。一个函数就是一个逻辑实现的封装，反复调用自己，则可认为重复执行相同逻辑。

• 一个看似复杂的问题，其实最终答案归结到一个小问题上，如求阶乘、斐波拉契之类的问题。

斐波拉契和求年龄的问题即可以使用前文的递推算法思想实现，也可以使用递归算法实现。说明：

• 解决一个问题不能拘泥一种方案。

• 算法与算法之间会有重叠、借鉴、融合之处。

递归的底层依赖于栈数据结构，递归的具体细节本文不做太多讲解，本文意在概括常见算法。

在算法理论中，回溯本身就是一种算法方案，可独立解决很多实际问题。

回溯法是计算机解题中常用的算法，很多问题无法根据某种确定的计算法则来求解，但可以利用回溯的技术求解。回溯法是搜索算法中的一种控制策略。

它的基本思想是：

从问题的某一种状态（一般是默认的初始状态）出发，搜索从这种状态出发所能达到的所有“状态”，当一条路走到“尽头”的时候，先退几步，接着从另一种可能的“状态”出发，继续搜索，直到所有的“路径”都尝试过。

回溯思路在我们在现实生活中无处不在，对此体现的较具体的就是下棋，还有一个典型的应用就是走迷宫。

因回溯已经内置在递归算法中，一般需要使用回溯解决的问题，都会用到递归。

2.5 分治思想

将一个计算复杂的问题分为若干子问题来进行求解，然后合并各个小问题得到原始问题的最终求解。

分治算法的特点：

• 原始问题和分解出来的子问题的问题形式相同，只是数据规模不相同，也就是说无论是原始问题，还是分解后的子问题，都在解决同一个问题。
• 分解出来的子问题具有完全独立性，子问题是原始问题的缩影。
• 使用分治算法时，不一定都需要合并子问题。如二分搜索算法，是分治算法的实现，但不需要合归。

分治算法实时有 2 个过程：

• 分治： 原始问题能分解成若干较小的相同问题，子问题因规模较小，更容易求解到答案。
• 合并： 合并子问题得到原始问题的求解。

因子问题与原始问题相同，一般会使用递归算法多次迭代。

如二分查找以及快速排序，都是分治的思想的应用。

二分的迭代实现：

#include <iostream>
using namespace std;
//二分查找算法
int binary_find(int nums[],int key) 
	// 初始左指针
	int l_idx = 0;
	// 初始在指针
	int r_ldx = sizeof(nums)/4 - 1;
	while (l_idx <= r_ldx) 
		// 计算出中间位置
		int mid_pos = (r_ldx + l_idx) ; // 2
		// 计算中间位置的值
		int mid_val = nums[mid_pos];
		// 与关键字比较
		if (mid_val == key)
			// 出口一：比较相等，有此关键字，返回关键字所在位置
			return mid_pos;
		else if (mid_val > key)
			// 说明查找范围应该缩少在原数的左边
			r_ldx = mid_pos - 1;
		else
			l_idx = mid_pos + 1;
	
	// 出口二：没有查找到给定关键字
	return -1;

int main(int argc, char** argv) 
	int   nums[7] = 1, 3, 4, 5, 8, 10, 12;
	int key = 3;
	int pos = binary_find(nums, key);
	cout<<pos;
	return 0;

二分查找的递归实现：

#include <iostream>
using namespace std;
//递归实现二分查找
int binary_find_dg(int nums[],int key,int l_idx,int r_ldx) 
	if (l_idx > r_ldx)
		// 出口一：没有查找到给定关键字
		return -1;
	// 计算出中间位置
	int mid_pos = (r_ldx + l_idx) ;// 2
	// 计算中间位置的值
	int mid_val = nums[mid_pos];
	// 与关键字比较
	if (mid_val == key)
		// 出口二：比较相等，有此关键字，返回关键字所在位置
		return mid_pos;
	else if (mid_val > key)
		// 说明查找范围应该缩少在原数的左边
		r_ldx = mid_pos - 1;
	else
		l_idx = mid_pos + 1;
	return binary_find_dg(nums, key, l_idx, r_ldx);

int main(int argc, char** argv) 
	int   nums[] = 1, 3, 4, 5, 8, 10, 12;
	int   key = 8;
	int   pos = binary_find_dg(nums, key,0,6);
	cout<<pos;
	return 0;

本文意在总结算法，快速排序的代码就不上了。

2.6 贪心算法思想

贪心算法总是做出在当前看来最好的选择，并从不整体最优考虑，只是局部最优秀。虽然贪心算法总是从局部最优求解，但有时也有可能让最终求解也是最优的。

贪心算法的特点：

• 不能保证最后的解是最优的。

• 不能用来求最大或最小解问题。

• 只能求满足某些约束条件的可行解。

贪婪算法最典型的案例：找零钱。

问题描述： 在超市购物时，收银员找零钱时，如何使找回零钱的纸币数最少。

贪心算法的思路是从最大面值的币种开始，按递减的顺序考虑各种币种。也就是先尽量用大面值的币种，当不足大面值币种的金额时才去考虑下一种较小面值的币种。

编码实现：

假设人民币有 100、50、20、10、5、2、1、0.5、0.1几种面额，且数量无限，找零钱时，请尽量实现找给顾客的零钱所用到的币种的总数量最少。

#include <iostream>
#include <map>
using namespace std;
int main(int argc, char** argv) 
// 币种
double bi_zhongs[] = 100, 50, 20, 10, 5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1;
// 记录最终结果
map<double ,int> resMap;
int	count=0;
//需要找的零钱
double lq_ = 68.9;
// 为了便于计算，扩大100倍
int lq = lq_ * 10;
for(int i=0; i<10; i++ ) 
	if (lq >= int( bi_zhongs[i] * 10 )) 
		// 计算张数
		count = lq / (bi_zhongs[i] * 10);
		resMap[bi_zhongs[i]] = int(count);
		// 余额
		lq = lq % (int( bi_zhongs[i] * 10));
	
	if (lq == 0)
		break;
	
// 输出每一种币种的数量
map<double ,int>::iterator begin= resMap.begin();
map<double ,int>::iterator end= resMap.end();
while(begin!=end) 
	cout<<begin->first<<":"<<begin->second<<"\\t";
	begin++;

return 0;

//输出结果：
//50: 1, 10: 1, 5: 1, 2: 1, 1: 1, 0.5: 1, 0.2: 2

3. 总结

本文介绍了常见的几种基础算法 ，除些之外，还有更多算法思想。如动态规划、摸拟思想……限于篇幅原因，本文中即不一一罗列，也不深研算法内在细节。

后续会为某些经典算法单独开文，详细介绍其算法的微妙之处。

万变不离其宗，研究算法时即要做到能对各种算法独立分析，又要做到融合贯通。